[論文レビュー] Explicit and recursive estimates of the Lambert W function

Lajos Lóczi|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Lambert W関数の実数分岐 W₀ および W₋₁ に対して、収束保証と高精度な誤差推定を伴う明示的な解析的境界と再帰的アルゴリズムを提示する。全定義域にわたり収束が保証される二次収束の再帰的アルゴリズムを導入し、収束速度の事前推定を提供するとともに、x^y = y^x の解の増大率に関する予想を W₀ を用いて解消する。

ABSTRACT

Solutions to a wide variety of transcendental equations can be expressed in terms of the Lambert $\mathrm{W}$ function. The $\mathrm{W}$ function, occurring frequently in applications, is a non-elementary, but now standard mathematical function implemented in all major technical computing systems. In this work, we discuss some approximations of the two real branches, $\mathrm{W}_0$ and $\mathrm{W}_{-1}$. On the one hand, we present some analytic lower and upper bounds on $\mathrm{W}_0$ for large arguments that improve on some earlier results in the literature. On the other hand, we analyze two logarithmic recursions, one with linear, and the other with quadratic rate of convergence. We propose suitable starting values for the recursion with quadratic rate that ensure convergence on the whole domain of definition of both real branches. We also provide a priori, simple, explicit and uniform estimates on its convergence speed that enable guaranteed, high-precision approximations of $\mathrm{W}_0$ and $\mathrm{W}_{-1}$ at any point. Finally, as an application of the $\mathrm{W}_0$ function, we settle a conjecture about the growth rate of the positive non-trivial solutions to the equation $x^y=y^x$.

研究の動機と目的

• 大引数におけるLambert W関数のW₀分岐の既存の解析的境界を改善すること。
• W₀ および W₋₁ の両方の実数分岐に対して、全定義域にわたり収束を保証する二次収束の再帰的アルゴリズムを開発すること。
• W₀ および W₋₁ の高精度近似における収束速度の明示的で一様かつ事前推定可能な推定値を提供すること。
• x^y = y^x の正の自明でない解の増大率に関する予想を、W₀ 関数を用いて解消すること。

提案手法

• 大引数における W₀(x) の新しい明示的下界および上界の導出により、先行研究を改善する。
• 二次収束速度を示す対数再帰の分析を行い、両実数分岐の全域にわたり収束を保証する初期値の提案。
• 漸近展開およびPuiseux級数を用いて初期近似と誤差推定を導出する。
• Stirling循環数を用いて、x → ∞ のときの W₀(x) の漸近展開における係数を定義する。
• 関数不等式と対数変換を用いて収束性および誤差境界を証明する。
• 再帰的微分解析と級数展開技術を用いて、補題および命題における収束条件の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の結果よりも、大引数における W₀ 関数のより鋭い明示的解析的境界は何か？
• RQ2 両実数分岐 W₀ および W₋₁ の全定義域にわたり収束を保証する二次収束の再帰的アルゴリズムを構築可能か？
• RQ3 W₀ および W₋₁ の再帰的近似における収束速度の明示的で一様かつ事前推定可能な推定値は何か？
• RQ4 W₀ 関数を用いて、x^y = y^x の解の増大率に関する予想をどのように解消できるか？

主な発見

• x > e における W₀(x) の新しい明示的境界は、先行結果を改善し、対数項を含むより鋭い上界および下界を提示する。
• 全定義域にわたり W₀ および W₋₁ の両方の収束を保証する初期値を備えた二次収束再帰が提案される。
• 事前収束速度推定が提供され、任意の点で W₀ および W₋₁ の高精度近似を保証可能となる。
• 本稿では、x^y = y^x の正の自明でない解の増大率が、y ~ x / W₀(x) と漸近的に同値であることを証明し、予想を解消する。
• x ≥ e および任意の正の整数 m に対して、不等式 0 ≤ (ln(x) − W₀(x)) / W₀^m(x) ≤ 1 / (√(2m)) が成り立ち、より鋭い境界 1 / (me) も確立される。
• 補題 A.13 および A.14 は、W₀(x) の2次項を超える高次の漸近近似の妥当性を確認し、大引数における精度を保証する。