[論文レビュー] Explicit Codes Minimizing Repair Bandwidth for Distributed Storage

Nihar B. Shah, K. V. Rashmi+2 more|ArXiv.org|Aug 20, 2009

Advanced Data Storage Technologies参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\beta=1$ のとき、理論的下限に達するように最適な正確再構成コードを提示する。この方式は干渉整合を用いたグループベースの符号構造を採用し、$d\beta = \alpha + (k-1)$ を満たす正確再構成を可能にし、$d \geq 2k-1$ で最適性を証明し、$d \geq 2k-3$ で存在を示す。一方、$d \leq 2k-4$ の場合、自明なケースを除き下限に達しないことが示される。

ABSTRACT

We consider the setting of data storage across n nodes in a distributed manner. A data collector (DC) should be able to reconstruct the entire data by connecting to any k out of the n nodes and downloading all the data stored in them. When a node fails, it has to be regenerated back using the existing nodes. In a recent paper, Wu et al. have obtained an information theoretic lower bound for the repair bandwidth. Also, there has been additional interest in storing data in systematic form as no post processing is required when DC connects to k systematic nodes. Because of their preferred status there is a need to regenerate back any systematic node quickly and exactly. Replacement of a failed node by an exact replica is termed Exact Regeneration.In this paper, we consider the problem of minimizing the repair bandwidth for exact regeneration of the systematic nodes. The file to be stored is of size B and each node can store alpha = B/k units of data. A failed systematic node is regenerated by downloading beta units of data each from d existing nodes. We give a lower bound for the repair bandwidth for exact regeneration of the systematic nodes which matches with the bound given by Wu et al. For d >= 2k-1 we give an explicit code construction which minimizes the repair bandwidth when the existing k-1 systematic nodes participate in the regeneration. We show the existence and construction of codes that achieve the bound for d >= 2k-3. Here we also establish the necessity of interference alignment. We prove that the bound is not achievable for d <= 2k-4 when beta=1. We also give a coding scheme which can be used for any d and k, which is optimal for d >= 2k-1.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおけるシステムノードの正確再構成のための再構成帯域幅を最小化すること。
• $\beta=1$ のとき、再構成帯域幅の理論的下限に達する明示的コードを構築すること。
• 再構成帯域幅の下限が達成可能または不可能である条件を特定すること。
• 特定のパrameter領域において最適な再構成帯域幅を達成するために干渉整合が必要であることを立証すること。
• $d \geq 2k-1$ で最適であり、$d \geq 2k-3$ で構築可能な一般化符号化方式を提供すること。

提案手法

• システムノードを $\alpha$ 個のグループに分割し、非システムノードを多項式に基づく線形関数を用いてグループに割り当てるグループベースの符号構造を提案する。
• ノード間の再構成中に不要な干渉をキャンセルするために干渉整合を用い、ノード間で再構成ベクトルの線形独立性を保証する。
• 再構成およびデータ収集の条件を、消えない多項式行列式としてモデル化し、正確再構成とデータ収集を保証する。
• Koetter-Medardアルゴリズムを適用して変数に値を割り当て、すべての必要な多項式がゼロでないことを保証し、符号の存在を保証する。
• 再構成帯域幅の下限 $d\beta \geq \alpha + (k-1)\beta$ を導出する。この下限は、トレードオフ曲線上の MSR 点と一致する。
• $k \leq \alpha$ および $d \geq 2k-1$ の場合に明示的コードを構築し、$k \leq \alpha+2$ および $d \geq 2k-3$ の場合に存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\beta=1$ のとき、システムノードの正確再構成において再構成帯域幅の理論的下限に達する明示的コードを構築可能か？
• RQ2 $d$ と $k$ がどのような値のとき、再構成帯域幅の下限が $\beta=1$ のもとで達成可能か？
• RQ3 正確再構成において最適な再構成帯域幅を達成するために干渉整合が果たす役割は何か？
• RQ4 $\beta=1$ のとき、$d \leq 2k-4$ において再構成帯域幅の下限は達成可能か？
• RQ5 $d \geq 2k-1$ で最適であり、$d \geq 2k-3$ で構築可能な一般化符号化方式を設計可能か？

主な発見

• $d \geq 2k-1$ で $k \leq \alpha$ のとき、明示的構成により下限 $d\beta \geq \alpha + (k-1)\beta$ が達成可能である。
• $d \geq 2k-3$ の場合、下限に達する明示的コードが存在し、この領域では干渉整合が不可欠である。
• $d \leq 2k-4$ の場合、$\alpha=1$ の自明なケースを除き、下限に達成できない。
• グループが均等に分割された場合、平均再構成帯域幅が最小化され、$s = \lfloor k/\alpha \rfloor$ および $k \bmod \alpha$ 個のグループがサイズ $s+1$ となる。
• シミュレーション結果から、$d \geq 2k-1$ の場合、本方式は理論的下限と一致し、$k=9$ の場合、グループ干渉整合など先行手法を上回ることが示された。
• 再構成帯域幅は $\gamma = (\eta-1)\alpha + (d - \eta + 1)$ で与えられ、$\eta$ はグループ内のノード数であり、均等なグループ分割の下で最小化される。