[論文レビュー] Explicit coupling argument for nonuniformly hyperbolic transformations

Alexey Korepanov, Zemer Kosloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非一様的に双曲的力学系における混合速度—指数的、伸長指数的、多項式的—の均一的で連続的な推定を導出する明示的結合（coupling）の議論を提示する。誘導された一様に拡大する写像と、拡大、歪み、誘導時間の尾部挙動による定数の制御を活用することで、系のパラメータに対して一様な依存性を有する、初めての明示的かつ定量的な相関関数の崩壊に関する境界を提供する。これにより、従来の非明示的固有値推定における空白が埋められる。

ABSTRACT

The transfer operator corresponding to a uniformly expanding map enjoys good spectral properties. Here it is verified that coupling yields explicit estimates that depend continuously on the expansion and distortion constants of the map. For nonuniformly expanding maps with a uniformly expanding induced map, we obtain explicit estimates for mixing rates (exponential, stretched exponential, polynomial) that again depend continuously on the constants for the induced map together with data associated to the inducing time. Finally, for nonuniformly hyperbolic transformations, we obtain the corresponding estimates for rates of decay of correlations.

研究の動機と目的

• 非一様的に双曲的力学系における混合速度の明示的で一様な推定の空白を埋めること。これまでは、含まれる定数の制御が不十分であった。
• 従来、一様に拡大する写像に適用されてきた明示的結合技術を、非一様的に双曲的および非一様に拡大する系へと拡張すること。
• 混合速度が拡大、歪み、誘導時間の尾部パラメータに連続的に依存することを示し、パラメータ族への応用を可能にすること。
• 一様に拡大する写像に対して、簡潔で初等的な証明を提供し、より複雑な非一様な場合の基盤を築くこと。
• 多項式的または伸長指数的尾部を有する系における相関関数の崩壊に対する明示的かつ計算可能な境界を提供すること。これには、Viana写像や単峰的写像が含まれる。

提案手法

• 軌道同士の距離を推定するために明示的確率的結合を用い、相関関数の崩壊速度の制御を可能にする。
• 拡大定数と歪み定数に明示的な依存性を有する一様に拡大する写像への結合の応用により、混合速度の連続的境界が得られる。
• 非一様に拡大する系へ結果を拡張するために、一様に拡大する誘導写像への帰着を行い、誘導時間の尾部挙動を推定に組み込む。
• 最初の帰還時刻と最後の帰還時刻に基づく分解を用い、幾何的および測度論的境界を適用して、誘導帰還時刻の密度のL1ノルムを推定する。
• 移動作用素の技術と結合を組み合わせ、固有値および幾何的パラメータに明示的な依存性を有する相関関数の崩壊に関する境界を導出する。
• 誘導写像のスペクトルギャップと尾部推定を活用し、再帰的結合とモーメント境界を用いて、明示的な崩壊速度を元の系へと伝播させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的に双曲的系に対して、結合法を用いて混合速度の明示的で連続的な境界を導出できるか？
• RQ2 崩壊速度に含まれる定数が、拡大、歪み、および誘導時間の尾部挙動にどのように依存するか？
• RQ3 結合法が、定数に一様な制御を有する伸長指数的および多項式的崩壊速度の明示的推定を可能にするか？
• RQ4 明示的結合フレームワークを一様に拡大する系から非一様的に双曲的系へとどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 結果がパラメータ族（例：Viana写像）に適用可能であり、崩壊速度の推定に一様な境界が得られるか？

主な発見

• 多項式的尾部を有する非一様的に双曲的系では、相関関数の崩壊が $ O(n^{-(\beta-1)}) $ で抑えられ、定数は尾部指数 $ \beta $ と歪み定数に連続的に依存する。
• 伸長指数的尾部 $ e^{-An^\gamma} $ を有する系では、崩壊が $ C e^{-Bn^\gamma} $ で抑えられ、$ B $ と $ C $ は $ A $, $ \gamma $、および系の歪みと拡大パラメータに連続的に依存する。
• 伸長指数的崩壊における包含定数 $ C $ は明示的に制御可能であり、$ C_\tau $（尾部定数）、$ \gamma $、および誘導写像のスペクトルギャップに連続的に依存する。
• 本手法により、均一な指数と包含定数を有する滑らかな単峰的写像における相関関数の崩壊に対する明示的境界が得られ、従来の結果（定数の一様性を主張しなかった）を改善する。
• Viana写像に対して、本稿は、伸長指数的崩壊速度 $ Ce^{-cn^\gamma} $ の定数 $ C $, $ c $, $ \gamma $ について、初めての明示的かつ一様な推定を提供する。
• 結合法により、拡大定数 $ K_0 $、歪み定数 $ K_1 $、および誘導時間の尾部挙動に、非一様的に双曲的設定下でも混合速度の連続的依存性が得られる。