[論文レビュー] Explicit Description of HARA Forward Utilities and Their Optimal Portfolios

Tahir Choulli, Junfeng Ma|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最小ヘルンジャー局所 martingale 密度を用いて、セミマーティングル市場モデルにおける HARA 型フォワードユーティリティおよびその最適ポートフォリオの完全で明示的な特徴付けを提供する。ユーティリティのパラメータおよび最適取引戦略の閉形式の動的特性を導出し、指数型ユーティリティを超えてより一般的な HARA 類にまでフォワードユーティリティ理論を拡張し、明示的なパrametrization とポートフォリオ則を提示する。

ABSTRACT

This paper deals with forward performances of HARA type. Precisely, for a market model in which stock price processes are modeled by a locally bounded $d$-dimensional semimartingale, we elaborate a complete and explicit characterization for this type of forward utilities. Furthermore, the optimal portfolios for each of these forward utilities are explicitly described. Our approach is based on the minimal Hellinger martingale densities that are obtained from the important statistical concept of Hellinger process. These martingale densities were introduced recently, and appeared herein tailor-made for these forward utilities. After outlining our parametrization method for the HARA forward, we provide illustrations on discrete-time market models. Finally, we conclude our paper by pointing out a number of related open questions.

研究の動機と目的

• 一般のセミマーティングル市場モデルにおける HARA 型フォワードパフォーマンスユーティリティの完全で明示的な特徴付けを提供すること。
• HARA フォワードユーティリティを定義するパラメータ D, p, D̄, D̂ の明示的動的特性を導出すること。
• 各 HARA フォワードユーティリティクラスに付随する最適ポートフォリオを特徴付けすること。
• 最小ヘルンジャー局所 martingale 密度を用いて、指数型ユーティリティを超えてより広範な HARA 類へのフォワードユーティリティ理論の拡張を実現すること。
• 離散時間市場モデルにおけるフレームワークの適用を示し、今後の研究における未解決の問題を特定すること。

提案手法

• 著者たちは、ヘルンジャー過程から導出される最小ヘルンジャー局所 martingale 密度を、HARA フォワードユーティリティのパrametrization の中心的ツールとして用いる。
• D(t,x)·x^{p(t)} または D̄(t) + D̂(t)·log(x) の形で HARA フォワードユーティリティのパrametrization を確立し、D, p, D̄, D̂ の明示的動的特性を提示する。
• 正の局所 martingale Z の存在を仮定し、p ∈ (−∞,1) の場合に共役指数 q = p/(p−1) を用いて双対過程を構成する。
• 主要な方程式は、β̃ を解くことにより、b^Z + (p−1)cλ + ∫[(1+λ^T x)^{p−1}−1]xF^Z(dx) = 0 を満たすことで、最小ヘルンジャー密度の存在を保証する。
• 最適ポートフォリオは、ヨルの公式および Z̃ = E(∫H^Z dS + q(q−1)h^{(q)}(Z̃,Z)) を用いて導出され、フォワードユーティリティと最小ヘルンジャー過程を結びつける。
• フレームワークは離散時間市場モデルを用いて検証され、局所有界性を仮定した一般のセミマーティングル設定へと拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のセミマーティングル市場モデルにおける HARA 型フォワードユーティリティは、どのように明示的にパrametrized できるか？
• RQ2 HARA フォワードユーティリティを定義するパラメータ D(t), p(t), D̄(t), D̂(t) の確率的動的特性は何か？
• RQ3 各 HARA フォワードユーティリティクラスに対して、最適ポートフォリオ戦略をどのように明示的に導出できるか？
• RQ4 最小ヘルンジャー局所 martingale 密度は、HARA フォワードユーティリティの特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、先行研究における指数型フォワードユーティリティとどのように異なり、拡張するか？

主な発見

• 本論文は、U(t,x) = D(t)x^{p(t)} または U(t,x) = D̄(t) + D̂(t)log(x) の形で HARA フォワードユーティリティの明示的パrametrization を提供し、D, p, D̄, D̂ の完全に決定された動的特性を提示する。
• 各 HARA フォワードユーティリティに対する最適ポートフォリオは、最小ヘルンジャー局所 martingale 密度と β̃ の解を含む方程式系の解を用いて明示的に特徴付けられる。
• 最小ヘルンジャー局所 martingale 密度 Z̃ が、Z̃^{q−1} = E(∫H^Z dS + q(q−1)h^{(q)}(Z̃,Z)) を満たすことが示され、ユーティリティと市場の動的構造を結びつける。
• ヘルンジャー過程 h^{(q)}(Z̃,Z) の動的特性が明示的に導出され、q(q−1)dh^{(q)}(Z̃,Z) がセミマーティングルの拡散成分とジャンプ成分の両方で表現される。
• 集合 {ΔA = 0} において、q(q−1)dh^{(q)}(Z̃,Z) は (p/2)β̃^T c β̃ dA + ∫[(1+β̃^T x)^p −1 − q(1+β̃^T x)^{p−1} + q]F^Z(dx)dA に簡略化される。
• 本フレームワークは、Choulli 他（2011）の指数型フォワードユーティリティフレームワークとは不一致であり、リスク回避プロセスの違いに起因する。