[論文レビュー] Explicit Error Bounds for Carleman Linearization

Marcelo Forets, Amaury Pouly|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、多項式常微分方程式（ODE）のCarleman線形化における明示的で計算可能な誤差境界を提示する。2つの戦略を用いる：逐次的後向き統合による打ち切り系の統合（事前に解のノルム推定値を必要とする）と、母関数を用いた組合せ的アプローチによる完全に明示的な事前誤差境界の導出。主な貢献は、時間に依存する誤差境界であり、打ち切り次数とともに指数関数的に減少し、実用的な数値実装に有効である。

ABSTRACT

We revisit the method of Carleman linearization for systems of ordinary differential equations with polynomial right-hand sides. This transformation provides an approximate linearization in a higher-dimensional space through the exact embedding of polynomial nonlinearities into an infinite-dimensional linear system, which is then truncated to obtain a finite-dimensional representation with an additive error. To the best of our knowledge, no explicit calculation of the error bound has been studied. In this paper, we propose two strategies to obtain a time-dependent function that locally bounds the truncation error. In the first approach, we proceed by iterative backwards-integration of the truncated system. However, the resulting error bound requires an a priori estimate of the norm of the exact solution for the given time horizon. To overcome this difficulty, we construct a combinatorial approach and solve it using generating functions, obtaining a local error bound that can be computed effectively.

研究の動機と目的

• 従来、定量的な打ち切り誤差推定が欠落していたことから、Carleman線形化の明示的で計算可能な誤差境界を提供することで、文献のギャップを埋める。
• Carleman埋め込みに生じる非有界作用素に対して、正確な解のノルムに関する事前知識を必要とする既存の境界の制限を克服する。
• システムの係数と初期条件にのみ依存する完全に明示的な誤差境界を構築し、検証可能な数値統合や制御応用における実用的利用を可能にする。
• 保証付き統合と非線形制御理論へのCarleman線形化の適用範囲を拡大するために、厳密で計算可能な誤差推定を提供する。

提案手法

• 多項式非線形性を単項式基底を用いて高次元空間に埋め込むことで、Carleman線形化を無限次元の双線形ODE系として形式化する。
• 打ち切りボルテラ級数の逐次的後向き統合により最初の誤差境界を導出する。この境界は、解のノルムの事前推定値に依存する。
• 誤差項をべき級数としてモデル化し、母関数を用いて再帰関係を解くことで、完全に明示的な第二の誤差境界を構築する。
• 二項係数の和を複素解析を用いて評価するEgorychevの手法を適用し、誤差級数の閉形式表現を導出する。
• 解析を簡素化し、母関数技法の適用を可能にするために、元の多項式ODEを二次形式に変換する。
• 実用的検証と数値利用を目的に、変換および誤差式をSageMathコンピュータ代数システムに実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な解の事前知識を必要とせずに、多項式ODEのCarleman線形化における打ち切り誤差に対して明示的で計算可能な誤差境界を導出可能か？
• RQ2 Carleman線形化の誤差境界において、事前解ノルム推定値への依存をどのように排除できるか？
• RQ3 打ち切り次数を増加させた際の誤差境界の漸近的挙動は何か？指数関数的に減少することが示せるか？
• RQ4 母関数は、Carleman線形化における誤差項から生じる再帰関係を効果的に解くのに有効か？
• RQ5 導出された誤差境界の収束半径は何か？また、システムの安定性および数値的妥当性とどのように関係するか？

主な発見

• 最初の誤差境界は、打ち切りボルテラ級数の後向き統合により導出され、解のノルムの事前推定値に依存する。このため、実用的利用に制限がある。
• 第二の誤差境界は完全に明示的であり、解に関する事前知識を一切必要とせず、誤差項の再帰関係を母関数を用いて解くことで得られる。
• 明示的誤差境界は、$ R_N(t) = \frac{||x_0|| e^{||F_1||t}}{(1+\beta_0) - \beta_0 e^{||F_1||t}} \big[\beta_0(e^{||F_1||t}-1)\big]^N $ として閉形式で表され、ここで $ \beta_0 = \frac{||x_0||~{}||F_2||}{||F_1||} $ である。
• 誤差境界は打ち切り次数 $ N $ が増加するにつれて指数関数的に減少し、収束半径は $ T^* = \frac{1}{||F_1||} \ln\left(1 + \frac{1}{\beta_0}\right) $ であり、これより大きい範囲では境界が発散する。
• この境界は、原点に平衡点をもつ任意の多項式ODEに対して有効であり、SageMathによる実装により数値的実装の有効性が示された。
• 導出された誤差境界は、第一の手法よりも指数的にきついものであり、多項式ODEの保証付き統合に実用的で検証可能な手法を提供する。