[論文レビュー] Explicit evaluation of harmonic sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、積分表現を用いて調和級数、交代調和級数、オイラー型級数の明示的閉形式評価を提示する。2次および3次オイラー級数の明示的公式をリーマンゼータ関数値および線形級数の形で導出し、調和数と第一種スターリング数の間の新しい関係を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some formulae for harmonic sums, alternating harmonic sums and Stirling number sums by using the method of integral representations of series. As applications of these formulae, we give explicit formula of several quadratic and cubic Euler sums through zeta values and linear sums. Furthermore, some relationships between harmonic numbers and Stirling numbers of the first kind are established.

研究の動機と目的

• 積分表現を用いて一般化された調和級数、交代調和級数、スターリング数級数の明示的公式を導出すること。
• 2次および3次オイラー級数をリーマンゼータ関数値および線形級数の形で評価すること。
• 調和数と第一種スターリング数の間の新しい代数的関係を確立すること。
• 調和数および交代調和数を含む特定のクラスのオイラー型級数に対する閉形式評価を提供すること。

提案手法

• 調和級数を評価するための中心的分析的手法として、級数の積分表現を用いる。
• この手法を適用して、$\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(m)}{n(n+k)}$ および $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(m)}{n(n+k)}$ の形の和の閉形式表現を導出し、ゼータ関数値および調和数の形で表現する。
• 階乗およびゼータ関数の恒等式を用いて、$\sum_{n=p-1}^\infty \frac{S(n+1,p)}{n!n(n+k)}$ の形のスターリング数第一種の和を評価する。
• 交代オイラー級数および多対数関数に関する既知の結果を用いて、複雑な和をゼータ関数値および対数項の組み合わせに還元する。
• オイラー級数の重みと次数の枠組みを用いて、多様な複雑さの和を分類し、体系的に評価する。
• 導出された公式の妥当性を検証するためのベンチマークとして、既知の $\bar{S}_{1,0,3}$ および $\bar{S}_{0,1,3}$ の評価値を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分表現を用いて、$\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(m)}{n(n+k)}$ の形の調和級数を閉形式で表現できるか？
• RQ2 交代調和級数および高重量のオイラー級数は、どのようにしてリーマンゼータ関数値および線形級数の組み合わせに還元できるか？
• RQ3 無限級数の文脈において、調和数と第一種スターリング数の間にどのような関係が存在するか？
• RQ4 調和数と $n^{-p}$ の積を含む2次および3次オイラー級数に対して、どのような明示的閉形式が導けるか？
• RQ5 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(1)^2}{n^2}(-1)^{n-1}$ は、ゼータ関数値および多対数関数の形で明示的に評価可能か？

主な発見

• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n^2(1)}{n^2}(-1)^{n-1} = -\frac{41}{16}\zeta(4) + 2\zeta(2)\ln^2 2 + \frac{1}{6}\ln^4 2 + \frac{7}{4}\zeta(3)\ln 2 + 4\text{Li}_4(\frac{1}{2})$ が明示的に評価された。
• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n^2(1)}{n^3}(-1)^{n-1} = -4\text{Li}_4(\frac{1}{2})\ln 2 + \frac{19}{8}\zeta(4)\ln 2 + \zeta(2)\ln^3 2 - \frac{1}{6}\ln^5 2 + \frac{3}{8}\zeta(2)\zeta(3) - \frac{19}{32}\zeta(5)$ が閉形式で導出された。
• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(1)L_n(2)}{n}(-1)^{n-1} = \frac{61}{16}\zeta(4) - \frac{7}{8}\zeta(3)\ln 2 - \frac{1}{4}\zeta(2)\ln^2 2 - \frac{1}{6}\ln^4 2 - 4\text{Li}_4(\frac{1}{2})$ が明示的に計算された。
• 3次オイラー級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^3}{n^5} = \frac{469}{32}\zeta(8) - 16\zeta(3)\zeta(5) + \frac{3}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) + \frac{11}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ がゼータ関数および線形級数の形で評価された。
• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n \zeta_n(2)}{n^5} = -\frac{343}{48}\zeta(8) + 12\zeta(3)\zeta(5) - \frac{5}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) - \frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ が閉形式で表現された。
• 和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2 \zeta_n(3)}{n^3} = \frac{9}{2}\zeta(3)\zeta(5) + \frac{3}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) - \frac{443}{288}\zeta(8) - \frac{23}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ が明示的に評価された。