[論文レビュー] Explicit Form of Solution of Two Atoms Tavis-Cummings Model

Kazuyuki Fujii, Kyoko Higashida+2 more|ArXiv.org|Mar 1, 2004

Quantum Information and Cryptography参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、スピン-1表現と行列指数技術を用いて、共鳴条件下における2原子Tavis-Cummingsモデルの最初の明示的解析解を提供する。解はユニタリ変換を経て導出され、数演算子の三角関数関数として表現されており、トラップされたレーザー冷却原子を用いたキャビティ量子電磁力学系における量子ゲート設計への直接応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we consider the two atoms Tavis--Cummings model and give an explicit form to the solution of this model which will play a central role in quantum computation based on atoms of laser--cooled and trapped linearly in a cavity. We also present a problem of three atoms Tavis--Cummings model which is related to the construction of controlled--controlled NOT operation (gate) in quantum computation.

研究の動機と目的

• 文献において未解決のまま残っている2原子Tavis-Cummingsモデルの時間発展演算子の明示的解析形を導出すること。
• キャビティ内にトラップされレーザー冷却された原子を用いた量子計算において不可欠な制御量子ゲート（特に制御-制御NOTゲート）の構築を容易にすること。
• 既知の1原子解を2原子系に拡張し、キャビティQEDにおける多量子ビット量子操作の基盤を提供すること。
• 3原子Tavis-Cummingsモデルを、完全なゲート実装に向けた未解決の難問として特定し、今後の研究を促すこと。

提案手法

• スピンの代数的構造 $ su(2) $ を活用し、集合スピン演算子 $ S_+ $, $ S_- $, $ S_3 $ を含むハミルトニアンに変換する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式を解くために定数の変化の方法を適用し、問題を演算子 $ A = S_+ \otimes a + S_- \otimes a^\dagger $ の指数関数への還元する。
• 共鳴条件 $ \Delta = \omega $ を用いて、時間発展演算子を $ U(t) = e^{-it\omega S_3} \otimes e^{-it\omega N} \cdot e^{-itgA} $ に簡略化し、$ e^{-itgA} $ に焦点を当てる。
• 2原子系では、スピン-1の $ \mathfrak{su}(2) $ 無限可約表現を活用し、$ 4 \times 4 $ 行列 $ A $ を $ 3 \times 3 $ 行列 $ B $ に簡約化し、指数計算を容易にする。
• 行列 $ B $ のべき乗に対する再帰関係を用いて $ e^{-itgB} $ を計算し、$ \cos(tg\sqrt{D}) $ および $ \sin(tg\sqrt{D})/\sqrt{D} $ を含む閉形式の表現を得る。ここで $ D $ は対角演算子である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共鳴条件下における2原子Tavis-Cummingsモデルの時間発展演算子の明示的解析形は何か？
• RQ2 2原子の集合スピン構造は、多体ハミルトニアンの解法をどのように簡略化できるか？
• RQ3 2原子の解を3原子系に一般化することで、量子計算における制御-制御NOTゲートの実現が可能になるか？
• RQ4 2原子系において $ \exp(-itgA) $ の明示的計算を可能にする代数的構造は何か？そして、なぜ3原子系ではそれが成立しないのか？

主な発見

• 2原子Tavis-Cummingsモデルの明示的解は、$ \exp(-itgA) = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j \frac{(tg\sqrt{D})^{2j}}{(2j)!} - i \frac{1}{\sqrt{D}} \sum_{j=0}^\infty (-1)^j \frac{(tg\sqrt{D})^{2j+1}}{(2j+1)!} A $ として導出され、$ D = \text{diag}(N+1, N) $ である。この結果、$ \cos(tg\sqrt{N+1}) $, $ \sin(tg\sqrt{N+1})/\sqrt{N+1} $ などの行列表現が得られる。
• 解は明示的にブロック行列形式として $ \begin{pmatrix} \cos(tg\sqrt{N+1}) & -i \frac{\sin(tg\sqrt{N+1})}{\sqrt{N+1}} a \\ -i \frac{\sin(tg\sqrt{N})}{\sqrt{N}} a^\dagger & \cos(tg\sqrt{N}) \end{pmatrix} $ と表現され、1原子系に適用可能である。
• 2原子系では、解が $ 3 \times 3 $ 行列 $ B $ に簡約化され、再帰関係 $ B^3 = D B $ を用いて $ \exp(-itgB) $ が計算される。ここで $ D $ は対角演算子である。
• 得られた行列要素は、$ \cos(tg\sqrt{2(2N+3)}) $, $ \sin(tg\sqrt{2(2N+3)}) $ などの有理関数として表現され、係数には $ N $, $ a $, $ a^\dagger $ が含まれる。
• 本手法により、1原子解の2原子系への一般化が成功し、文献に先行していなかった完全で明示的な形が得られた。
• 3原子系は、$ A^k $ に対する類似の再帰関係が存在しないため未解決であり、著者らは今後の研究のための未解決問題として提示している。