[論文レビュー] Explicit formulae for primes in arithmetic progressions, I

Tomohiro Yamada|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、法 $q < \log^{\alpha_1}x$ の条件下で、算術級数におけるチェビシェフ関数 $\psi(x,q,a)$ の明示的誤差項を提示する。$O(1/\log^\alpha x)$ の誤差項を達成し、ボンビエリ＝ビノグラドフの定理の明示的バージョンを確立。非例外的および例外的法（シーゲル零点を含む）の両方を扱い、スieve理論および明示的数論への応用に向けた完全に計算可能な定数を提供する。

ABSTRACT

We shall give an explicit formula for $ψ(x, q, a)$ with an error term of the form $C/\log^αx$ under the condition that $q

研究の動機と目的

• 法 $q < \log^{\alpha_1}x$ の下で、$\psi(x,q,a)$ の明示的上界を、$O(1/\log^{\alpha_2}x)$ の誤差項を伴って導出すること。
• シーゲル零点を含む例外的法に対しても、誤差項の増大を制御した境界を拡張すること。
• 非効果的定数に依存しない、完全に明示的なボンビエリ＝ビノグラドフの定理のバージョンを提供すること。
• チエンの定理に類するゴールドバッハ型問題における明示的スieve法への応用を支援すること。
• 数値的検証およびアルゴリズム的数論への応用を想定し、明示的定数を計算・表形式で提示すること。

提案手法

• ディリクレ指標 $\chi \mod q$ に対する $\left| \psi(x,\chi) \right|$ の明示的境界を、明示的零点自由領域および指標和推定式を用いて導出する。
• 定理 1.1 を適用し、非例外的法 $q < \log^{\alpha_1}x$ に対して、$\left| -1 + x^{-1} \sum_{\chi \mod q} |\psi(x,\chi)| \right|$ を誤差 $C / \log^{\alpha_2}x$ で有界化。シーゲル零点の可能性を組み込む。
• 定理 1.2 を用いて、$x$ と $q$ 間の対数的関係の下で、すべての $q$ に対して境界を拡張。誤差は $C' / \log^A x$ となる。
• マッカーリーとカディリの明示的推定式と、原始的指標への和分解を組み合わせ、和の上限を評価する。
• 文献 [1] からの定数 $c_0 < 48.833$ と $c_1 = \zeta(2)\zeta(3)/\zeta(6) < 1.9436$ を用い、ボンビエリ＝ビノグラドフ和における誤差項を制御する。
• PARI-GP スクリプトを用いて、任意の $\alpha, \alpha_1$ に対して定数を計算し、再現性および新たなパラメータ領域への拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 法 $q < \log^{\alpha_1}x$ で非例外的であるとき、$\psi(x,q,a)$ の最良の明示的誤差項 $O(1/\log^{\alpha_2}x)$ は何か？
• RQ2 法 $q$ が例外的（すなわち、シーゲル零点を含む）である場合、誤差項の明示的境界をどのように維持できるか？
• RQ3 すべての法 $q \leq x^{1/2}/\log^A x$ に対して、ボンビエリ＝ビノグラドフの定理を完全に明示的かつ計算可能な定数を用いて記述できるか？
• RQ4 ボンビエリ＝ビノグラドフ和における誤差項に、例外的法を除外した影響は何か？
• RQ5 明示的数論への応用を想定し、誤差項の定数をアルゴリズム的に計算・検証するにはどうすればよいか？

主な発見

• 定理 1.1 は、$q < \log^{\alpha_1}x$ に対して明示的境界 $\left| \psi(x;q,a) - \frac{x}{\varphi(q)} \right| \leq \frac{C}{\log^{\alpha_2}x} + E_0 \frac{x^{\beta_0 - 1}}{\beta_0}$ を提供。$\beta_0$ がシーゲル零点である場合 $E_0 = 1$。
• 定理 1.2 は、$\frac{0.4923A}{\pi} q^{1/2} \log^2 q < \frac{\log x}{\log \log x}$ の条件下で、すべての $q$ に対して一様な境界 $\left| \psi(x;q,a) - \frac{x}{\varphi(q)} \right| \leq \frac{C'}{\log^A x}$ を与える。ここで $C' = C + \frac{1}{1 - A Y_0 / e^{Y_0}}$。
• 定理 1.4 は、例外的法を除いた場合に、誤差項が $\frac{c_1 c_0 (2 + e^{-800}) x}{\log^{A - 9/2} x} + \frac{2 c_0 c_1 x \log^{9/2} x}{Q_1} + \frac{c_1^2 (C_0 + e^{-17}) x (1 + A \log \log x)}{2 \log^{A-4} x}$ で有界である明示的ボンビエリ＝ビノグラドフの定理を提供する。
• 定数 $c_0 < 48.833$ は文献 [1] の明示的推定式から導出され、$c_1 < 1.9436$ は積 $\prod_p \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$ として与えられ、指標和の誤差項を制御するために用いられる。
• $A \in \{6,7,8,9,10\}$ の場合、シーゲル零点寄与を制御するための $Y_0 = \log \log X_0$ がそれぞれ $10.1, 10.5, 10.9, 11.2, 11.5$ として明示的に設定される。
• 本稿の PARI-GP スクリプトにより、任意の $\alpha, \alpha_1$ に対して定数を計算可能であり、新たなパrameter領域への拡張が可能である。