[論文レビュー] Explicit formulas for Hecke operators and Rankin's lemma in higher genus

Alexei Panchishkin, Kirill Vankov|ArXiv.org|Oct 12, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、球面座標を用いて genus 2 における Hecke 演算子の明示的公式を導出し、局所 Hecke 代数およびテンソル積における生成関数の和を可能にする。genus 2 における Rankin の補題を証明し、Ikeda-Miyawaki の構成を用いて $GSp_2 \times GSp_2$ から $GSp_4$ への正則上昇に応用する。

ABSTRACT

We develop explicit formulas for Hecke operators of higher genus in terms of spherical coordinates. Applications are given to summation of various generating series with coefficients in local Hecke algebra and in a tensor product of such algebras. In particular, we formulate and prove Rankin's lemma in genus two. An application to a lifting from (GSp2 imes GSp2) to GSp4 is given using Ikeda-Miyawaki constructions.

研究の動機と目的

• symbolic computation および球面座標を用いて、Rankin の補題を higher genus、特に genus 2 に拡張すること。
• 球面変数 $x_0, x_1, x_2$ を用いて、genus 2 における Hecke 演算子 $\mathbf{T}(p^\delta)$ の明示的公式を導出すること。
• 局所 Hecke 代数およびそのテンソル積における係数をもつ Hecke 演算子の生成関数を明示的に和すること。
• Ikeda-Miyawaki の構成を用いて、$GSp_2 \times GSp_2$ から $GSp_4$ への正則上昇に結果を応用すること。
• 関連多項式 $R(X)$ および $S(X)$ の Newton 多角形を分析し、すべての傾きが整数であることを示すこと。

提案手法

• Hecke 演算子を球面座標で表現するために、Satake の球面写像 $\Omega$ を用いる。
• genus 2 における Andrianov の生成関数を適用し、$\sum_{\delta=0}^\infty \Omega^{(2)}_x(\mathbf{T}(p^\delta)) X^\delta$ の閉形式表現を導出する。
• symbolic computation を用いて、$\Omega^{(2)}_x(\mathbf{T}(p^\delta))$ の明示的公式を $x_0, x_1, x_2$ に関する有理関数として導出する。
• 関数方程式を適用し、多項式 $R(X)$ および $S(X)$ の係数 $s_i$ を決定する。対称性 $s_{16-i} = (p^6[\mathbf{p}]\otimes[\mathbf{p}])^{8-i} s_i$ を用いる。
• $R(X)$ および $S(X)$ の $p$ および $X$ に関する Newton 多角形を構成し、すべての傾きが整数であることを明らかにする。
• 計算された Hecke 生成関数を用いて、Ikeda-Miyawaki の構成により $GSp_2 \times GSp_2$ から $GSp_4$ への正則上昇を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rankin の補題は、Hecke 演算子の明示的公式を用いて genus 2 に一般化可能か？
• RQ2 genus 2 における総 Hecke 演算子 $\mathbf{T}(p^\delta)$ の球面座標における閉形式表現は何か？
• RQ3 局所 Hecke 代数のテンソル積における係数をもつ Hecke 演算子の生成関数を明示的に和することは可能か？
• RQ4 $R(X)$ および $S(X)$ の Newton 多角形が示す幾何的・算術的意味は何か、特に整数の傾きに関しては？
• RQ5 計算された Hecke 生成関数を用いて、Ikeda-Miyawaki の構成を明示的に実現し、$GSp_4$ への正則上昇を達成できるか？

主な発見

• 本稿は、すべての $\delta \geq 0$ に対して、球面座標 $x_0, x_1, x_2$ を用いた $\Omega^{(2)}_x(\mathbf{T}(p^\delta))$ の明示的有理関数表現を導出する。
• 局所 Hecke 代数のテンソル積における係数をもつ生成関数に対して、genus 2 における Rankin の補題を証明する。
• $R(X)$ および $S(X)$ の係数 $s_0, \dots, s_{16}$ を明示的に計算し、対称性に基づく決定を可能にする関係式 $s_{16-i} = (p^6[\mathbf{p}]\otimes[\mathbf{p}])^{8-i} s_i$ を得る。
• $R(X)$ および $S(X)$ の Newton 多角形を計算し、すべての傾きが整数であることを示す。これは $p$-進幾何学的構造やモチーフとの関係を示唆する可能性がある。
• $GSp_2 \times GSp_2$ から $GSp_4$ への正則上昇が、Ikeda-Miyawaki の構成を用いて実現され、Hecke 生成関数が必要な生成データを提供する。
• $D_{p,m}(X) = \sum_{\delta=0}^\infty \Omega^{(2)}_x(\mathbf{T}(p^{m\delta})) X^\delta$ を定義し、$m=2,3,\dots$ に対して導出された公式を用いて計算可能である。