[論文レビュー] Explicit regulator maps on polylogarithmic motivic complexes

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Mar 15, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、複素数の代数的多様体上で、ポリログスのモチーフ的複体からデリーニュコhomology複体への明示的なレギュレータ写像を、ベルヌーイ数を係数に含む古典的ポリログス関数を用いて構成する。主な貢献は、ベイリンソンのレギュレータと整合することを直接計算で確認する明示的で計算可能なかいぎの構成であり、L関数の特殊値についての正確な予想を提示し、ザギエの予想を一般化する。

ABSTRACT

We define a regulator map from the weight n polylogarithmic motivic complex to the weight n Deligne complex of an algebraic variety X. The regulator map is constructed explicitly via the classical polylogarithms with some funny combinations of Bernoulli numbers as coefficients. This leads to conjectures on special values of L-functions at s=n which reduce to Zagier's conjecture when X is of dimension zero over Q. The cone of this map, shifted by one, should be called the Arakelov motivic complex of X. Its last cohomology group is identified with a group of codimension n Arakelov cycles on X.

研究の動機と目的

• 複素数体上の代数的多様体におけるポリログス的モチーフ的複体からデリーニュ複体への明示的レギュレータ写像を定義すること。
• これらの写像が残留条件と整合することを確立し、多様体全体への拡張を可能にすること。
• 微分形式とポリログス的項との間のレギュレータ写像の可換性について、計算による直接的検証を提供すること。
• 数体上のモチーフのL関数の特殊値について、正確な予想を導出すること。これはザギエの予想を一般化する。
• ポリログス的複体上のレギュレータの像が、ベイリンソンのレギュレータの像を含み、特に重要な場合に全射性が成立することを証明すること。

提案手法

• 古典的ポリログス関数とベルヌーイ数から導かれる係数を用いた明示的公式により、レギュレータ写像を構成する。
• 微分形式の直接計算と、複体内の微分作用素におけるその挙動を用いて、構成を検証する。
• 有理関数 f が微分複体内のさまざまな項に与える寄与を追跡する方法を用いる。特に、log|f|、dlog|f|、diarg f の成分を区別する。
• 項をA部とB部に分解し、可換性の検証においてA部が支配的であることを示す。
• ポリログス形式 dℒ_n(f) の微分を展開し、デリーニュ複体内の各成分と逐次的に一致させる。
• 特異的次元1の部分多様体における複体の構造を尊重することにより、残留条件との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素代数的多様体上で、ポリログス的モチーフ的複体からデリーニュ複体への明示的レギュレータ写像を構成できるか？
• RQ2 構成されたレギュレータ写像は、曲線や低重量の場合など既知の事例において、ベイリンソンのレギュレータ写像と一致するか？
• RQ3 ポリログス関数とベルヌーイ数の係数を用いたレギュレータ写像の正確な代数的構造は何か？
• RQ4 残留条件におけるレギュレータ写像の振る舞いはどのようにか？また、多様体全体に一貫して拡張可能か？
• RQ5 レギュレータ写像の像が、ベイリンソンのレギュレータの像を含み、モチーフ的設定において全射性が成立するか？

主な発見

• ベルヌーイ数を係数に含む古典的ポリログス関数を用いて、ポリログス的複体からデリーニュ複体へのレギュレータ写像が明示的に構成された。
• 直接計算により構成が検証され、レギュレータ写像の微分が両複体の微分と可換であることが示された。
• 残留条件と整合するため、一般点から多様体全体への写像の拡張が、既知の条件下で保証された。
• 次元 ≤3 あるいは体上の多様体では、レギュレータ写像が条件なしで定義され、既知の事例でベイリンソンのレギュレータと一致する。
• ポリログス的複体上のレギュレータ写像の像は、ベイリンソンのレギュレータの像を含み、研究された場合に全射性が証明された。
• この構成により、数体上のモチーフのL関数の特殊値に関する正確な予想が得られ、ザギエの予想が一般化された。