[論文レビュー] Explosive Crump-Mode-Jagers branching processes

Júlia Komjáthy|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、マルサス的パラメータが存在しない状況における爆発的 Crump-Mode-Jagers 分岐過程（CMPs）の理論を確立し、一般の再生産法則をもつ連続時間分岐過程に焦点を当てる。比較技法を導入し、爆発が発生するのは、出生時刻 $I$（感染性期間の開始）を持つ年齢依存型BPが爆発的である場合に限ることを証明している。一方、終了時刻 $C$ の分布は影響を及ぼさない——これにより、感染症型モデルや特異的・非単調な出生時刻分布を伴う病理的ケースにおける爆発性の鋭い基準が得られる。

ABSTRACT

In this paper we initiate the theory of Crump-Mode-Jagers branching processes (BP) in the setting where no Malthusian parameter exist, i.e., the process grows faster than exponential. A Crump-Mode-Jagers BP is a branching process (in continuous time) where arbitrary dependencies are allowed between the birth-times of the children of a single individual in the population. It is however assumed that these reproduction processes are i.i.d. point processes for different individuals. This paper focuses on determining whether this branching process explodes, that is, the process reaches infinitely many individuals in finite time. We develop comparison techniques between reproduction processes. We study special cases in terms of explosivity such as age-dependent BPs, and epidemic models with contagious intervals. For this, we superimpose a random contagious interval $[I, C]$ on every individual in the BP and keep only the children with birth-times that fall in this interval of the parent. We show that the distribution of the end $C$ of the contagious interval does not matter in terms of explosion, while the distribution of $I$ does: the epidemic explodes if and only if the two age-dependent BPs with the original birth-times and birth-times $I$ explode. We finish studying some pathological examples such as birth-time distributions that are singular to the Lebesque-measure yet they produce an explosive BP with arbitrary power-law offspring distributions.

研究の動機と目的

• マーラス的パラメータが存在しない、すなわち爆発的領域における Crump-Mode-Jagers 分岐過程の理論を構築すること。
• 任意の再生産点過程をもつ一般の CMP における爆発の必要十分条件を特定すること。
• 感染症型モデルにおける感染性期間の役割を分析し、爆発性に影響するのは開始時刻 $I$ のみであることを示すこと。
• 特異的または非単調な出生時刻分布をもつ病理的例を構築・分析し、爆発的過程が生じることを示すこと。
• 無限平均後代数および非指数的成長を伴う場合に、年齢依存型分岐過程の既存結果を拡張すること。

提案手法

• 一般の Crump-Mode-Jagers 分岐過程における爆発性を分析するため、再生産過程間の比較技法を開発する。
• 各個体がランダムな感染性期間 $[I,C]$ を持ち、この期間内に生まれた子孫のみが保持されるモデルを導入し、感染症の拡散をモデル化する。
• 爆発性の鍵となる基準として、逆分布関数 $F^{-1}(u)$ と積分 $\int_0^1 F^{-1}(e^{-1/y}) \frac{1}{y} dy$ の可積分性を用いる。
• 以前の研究で得られた min-summability 条件を応用し、出生時刻分布の尾の挙動に基づいて爆発性を特徴付ける。
• カントール型や二重指数的測度を含む特異的・非単調な出生時刻分布を分析し、基準の頑健性を検証する。
• 漸近的推定と積分収束テスト（例：$\int_e^\infty (\log u)^{-1/\log \beta} \frac{1}{u} du$）を用いて収束または発散を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーラス的パラメータが存在しない状況で、Crump-Mode-Jagers 分岐過程がいつ爆発するのか。
• RQ2 感染性期間の開始時刻 $I$ の分布が、感染症型分岐過程の爆発性にどのように影響するか。
• RQ3 感染性期間の終了時刻 $C$ の分布は、過程の爆発性に影響を及ぼすか。
• RQ4 特異的または非単調な出生時刻分布から、パワー則的後代数分布を伴っても爆発的分岐過程が生じ得るか。
• RQ5 重尾型出生時刻分布を伴う連続時間分岐過程において、爆発的行動と保守的行動の境界は何か。

主な発見

• 感染症モデルは、$C$ の分布がいかなるものであっても、出生時刻 $I$ をもつ年齢依存型BPが爆発的である場合に限り爆発する。
• 太鼓型パワー則的後代数分布をもつ場合、過程は $\int_e^\infty (\log u)^{-1/\log \beta} \frac{1}{u} du < \infty$ を満たすとき爆発的であり、これは $\beta < e$ のときに成立する。逆に $\beta \geq e$ のときは保守的である。
• カントール分布では $F^{-1}_{\text{Cantor}}(u) \leq 3u^{\log 3 / \log 2}$ が成り立ち、対応する積分が収束するため、過程は爆発的である。
• 離散例 $F_\gamma(y) = \exp\{-\exp(1/y^\gamma)\}$ の連続的アナロジーは、$\gamma < 1$ のとき爆発的であり、$\gamma \geq 1$ のときは保守的であり、これが臨界境界を示している。
• 絶対連続的で非単調な出生時刻密度ですら、爆発的過程を生じさせ得る。これは、爆発性に単調性が不要であることを示している。
• Gulikersの学位論文における古くからの十分条件に対して反例を構築し、0の近傍での非単調性が爆発性を排除しないことを示している。