[論文レビュー] Exponential mixing for some SPDEs with Lévy noise

Enrico Priola, Jerzy Zabczyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、弱いコルモゴロフ方程式を用いて遷移半群の勾配推定を導出し、無限次元における$α$-安定Lévyノイズで駆動される半線形確率偏微分方程式の指数的混合性を確立する。主な結果は、非線形性$F$が有界であり、そのリプシッツ定数が十分に小さい場合、$α \in (0,2)$に対しても、Wienerノイズ（$\alpha=2$）の既知の結果を拡張し、一意な不変測度へ指数的速さで収束することを示している。

ABSTRACT

We show how gradient estimates for transition semigroups can be used to establish exponential mixing for a class of Markov processes in infinite dimensions. We concentrate on semilinear systems driven by cylindrical $α$-stable noises, $α\in (0,2)$, introduced in Priola-Zabczyk "Structural properties of semilinear SPDEs driven by cylindrical stable processes" (PTRF to appear). We first prove that if the nonlinearity is bounded, then the system is ergodic and strong mixing. Then we show that the system is exponentially mixing provided that the nonlinearity, or its Lipschitz constant, are sufficiently small.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における円形$α$-安定ノイズで駆動される半線形SPDEのクラスの指数的混合性を確立すること。
• ガウスでないLévyノイズ、特に$α \in (0,2)$の状況において、混合性およびエルゴード理論をウィーナー過程のケース（$\alpha=2$）を超えて拡張すること。
• 遷移半群の勾配推定を発展・適用し、平衡状態への指数的収束を証明すること。
• 非線形性$F$に対して明示的な条件——特にリプシッツ定数が小さいこと、または有界であること——を同定し、それらのもとで指数的混合性が成立することを示すこと。
• 既存の強混合性およびエルゴード性に関する結果を、指数的収束レートを伴う$α$-安定ノイズの状況に一般化すること。

提案手法

• Markov過程$X(t)$の遷移半群の勾配推定を導くために、弱いコルモゴロフ方程式の使用。
• 勾配推定を用いて半群$P_t f(x)$の時間的変動を制御し、差分$|P_{t_2}f(x) - P_{t_1}f(x)|$の指数的減衰を示すこと。
• 解を成分に分解：$X^N(t,x^N) = Y^N(t) + Z^N_A(t)$、ここで$Y^N$は$F^N$を含む確定的積分方程式を満たす。
• Lévyノイズ$Z_A(t)$のモーメントバウンドを用いて、$\mathbb{E}|X^N(s,x^N) - x^N|_H$および$\mathbb{E}|X^N(s,x^N) - x^N|_H^p$（$p < \alpha$）の推定。
• $\alpha \leq 1$のとき、$s \in (0,\alpha)$に対して$[f]_s \leq 2^{1-s} \|f\|_0^{1-s} \|Df\|_0^s$を用いたホルダー連続性推定。
• 有限次元近似から無限次元系への極限$N \to \infty$への移行により、結果を全系に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性$F$にどのような条件下で、$α$-安定Lévyノイズを有するSPDEが指数的混合性を示すか？
• RQ2 遷移半群の勾配推定を用いて、Lévyノイズを有する無限次元SPDEにおける平衡状態への指数的収束を証明できるか？
• RQ3 モーメントおよびホルダー正則性の観点から、$\alpha \in (1,2)$と$\alpha \in (0,1]$の間で、系の挙動はどのように異なるか？
• RQ4 非線形性が有界ではあるが小さくない場合でも、指数的混合性は達成可能か？それとも、小ささ条件が必要か？
• RQ5 弱いコルモゴロフ方程式による勾配推定法をガウスでないLévyノイズに適応することで、指数的収束レートを得られるか？

主な発見

• 有界かつリプシッツ連続な$F$に対して、系(1.1)は定理2.5で示されるようにエルゴード的かつ強混合的である。
• 非線形性$F$のリプシッツノルムが十分に小さい場合、系は定理2.6で示されるように指数的混合性を示す。
• 平衡状態への収束速度は指数的であり、$\alpha \in (1,2)$に対しては$|P_{t_2}f(x) - P_{t_1}f(x)| \leq C_3 e^{-\omega t_1} \|Df\|_0 (1 + |x|_H)$、$\alpha \in (0,1]$に対しては$|P_{t_2}f(x) - P_{t_1}f(x)| \leq C_5 e^{-\omega p t_1} \|f\|_{C^1_b} (1 + |x|_H)^p$が成り立つ。
• 定数$C_3$、$C_5$、$\omega$、$p$はノイズパラメータおよび非線形性に明示的に依存するが、$t_1$、$t_2$、$x$とは無関係である。
• 古典的ウィーナーノイズの場合（$\alpha = 2$）にも、わずかな修正で結果が拡張可能であり、この手法の頑健性を確認している。
• 結果は、固有値$\gamma_n$の減衰および$|\beta_n|^\alpha / \gamma_n$のsummabilityに起因して、$\mathbb{E}|Z_A(t)|_H$および$\mathbb{E}|Z_A(t)|_H^p$の一様有界性に依存している。