[論文レビュー] Exponential moments for numerical approximations of stochastic partial differential equations

Arnulf Jentzen, Primož Pušnik|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非グローバルに単調でない非線形性を有する確率的偏微分方程式（SPDEs）に対して、tamed space-time-noise 離散指数Eulerスキームの新しいクラスを導入する。無限次元SPDEsにおける時間離散化数値スキームの最初の既知の指数的可積分性バウンドを確立し、一般のノイズ条件下で、確率的バーガース方程式、 Kuramoto-Sivashinsky方程式、および2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して有限の指数的モーメントを証明する。

ABSTRACT

Stochastic partial differential equations (SPDEs) have become a crucial ingredient in a number of models from economics and the natural sciences. Many SPDEs that appear in such applications include non-globally monotone nonlinearities. Solutions of SPDEs with non-globally monotone nonlinearities are in nearly all cases not known explicitly. Such SPDEs can thus only be solved approximatively and it is an important research problem to construct and analyze discrete numerical approximation schemes which converge with positive strong convergence rates to the solutions of such infinite dimensional SPDEs. In the case of finite dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs) with non-globally monotone nonlinearities it has recently been revealed that exponential integrability properties of the discrete numerical approximation scheme are a key instrument to establish positive strong convergence rates for the considered approximation scheme. To the best of our knowledge, there exists no result in the scientific literature which proves exponential integrability properties for a time discrete approximation scheme in the case of an infinite dimensional SPDE. In this paper we propose a new class of tamed space-time-noise discrete exponential Euler approximation schemes that admit exponential integrability properties in the case of infinite dimensional SPDEs. In particular, we establish exponential moment bounds for the proposed approximation schemes in the case of stochastic Burgers equations, stochastic Kuramoto-Sivashinsky equations, and two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 非グローバルに単調でない非線形性を有する無限次元SPDEsにおける時間離散化スキームの強収束速度結果の不足に対処すること。
• 文献におけるギャップを埋めるために、このようなSPDEsの数値近似における指数的可積分性特性を確立すること。
• 指数的モーメントバウンドを保証する新しいクラスのtamed space-time-noise 離散指数Eulerスキームの開発および分析を行うこと。
• 従来は有限次元SDEsにのみ用いられてきた指数的可積分性技術を、無限次元SPDEsへと拡張すること。
• 乗法的ノイズを有する主要なSPDEs、特に確率的バーガース方程式、Kuramoto-Sivashinsky方程式、および2次元ナビエ＝ストークス方程式に対する厳密なモーメントバウンドを提供すること。

提案手法

• 発散を防ぐために非線形ドリフトを正則化するtamed space-time-noise 離散指数Eulerスキームを提案する。
• 射影解のノルムとノイズ増分に基づく新しいストップ機構を導入し、指数的モーメント推定における有界性を保証する。
• 条件付き期待値のための因数分解補題を用いて、指数的モーメントを扱いやすい1ステップ推定に分離する。
• 伊藤の公式とGronwall型の議論を用いて、再帰的枠組み内で1ステップの指数的モーメントバウンドを導出する。
• 解のノルムとノイズ増分ノルムに依存する切断関数を有するtamedスキームを適用し、成長を制御する。
• 無限次元設定を扱い、モーメント推定における収束を保証するために、スペクトル射影子とHilbert-Schmidtノイズ構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルに単調でない非線形性を有する無限次元SPDEsにおける時間離散化数値スキームに対して、指数的可積分性を確立できるか？
• RQ2 tamed space-time-noise 離散Eulerスキームは、確率的バーガース方程式やナビエ＝ストークス方程式のようなSPDEsに対して有限の指数的モーメントを有するか？
• RQ3 時間および空間離散化パラメータに依存しない一様な指数的モーメントバウンドを数値近似に対して導出可能か？
• RQ4 非グローバルに単調でないドリフトの存在下で、指数的可積分性を活用して、強収束速度を保証できるか？
• RQ5 乗法的ノイズを有するSPDEsにおいて、指数的モーメントバウンドを可能にするノイズおよび非線形性の正確な条件は何か？

主な発見

• 提案されたtamed space-time-noise 離散指数Eulerスキームは、Corollary 4.11で示されるように、確率的バーガース方程式に対して有限の指数的モーメントを達成する。
• すべての ε ∈ [1, ∞) に対して、sup_{N,M∈ℕ} sup_{t∈[0,T]} E[exp(ε∥Y^{N,M}_t∥²_H / e^{2ε trace_H(Q)t})] < ∞ を満たし、一様な指数的可積分性を証明する。
• 確率的Kuramoto-Sivashinsky方程式に対しても指数的モーメントバウンドが確立されている（Corollary 4.13にて記述）。
• 乗法的ノイズを有する2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対しても、提案されたスキームの下で有限の指数的モーメントが存在する（Corollary 4.15で確認）。
• 解析により、ナビエ＝ストークス方程式における非グローバルに単調でない非線形性が、taming機構と組み合わせられることで指数的可積分性を妨げないことが確認された。
• 本稿は、無限次元SPDEsにおける時間離散化スキームに対する指数的可積分性の最初の証明を提供し、将来の強収束速度分析を可能にする。