[論文レビュー] Exponentially small expansions associated with a generalised Mathieu series

R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Mellin変換法を用いて、$ S_{u,\beta}(a;\rho) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^\beta}{(n^\rho + a^\rho)^\nu} $ の $ |a| \to \infty $ における漸近展開を、$ |\arg a| < \pi/\rho $ の領域で導出する。$ \rho $ および $ \beta $ が偶数整数であるとき、展開は有限代数的部と無限個の指数的に小さい項の列から成る。$ \nu $ が整数である場合には、閉形式の評価が得られる。

ABSTRACT

We consider the generalised Mathieu series \\[\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{n^\\gamma}{(n^\\lambda+a^\\lambda)^\\mu}\\qquad (\\mu&gt;0)\\] when the parameters $\\lambda$ ($&gt;0$) and $\\gamma$ are even integers for large complex $a$ in the sector $|\\arg\\,a|&lt;\\pi/\\lambda$. The asymptotics in this case consist of a {\\it finite} algebraic expansion together with an infinite sequence of increasingly subdominant exponentially small expansions. When $\\mu$ is also a positive integer it is possible to give closed-form evaluations of this series. Numerical results are given to illustrate the accuracy of the expansion obtained.

研究の動機と目的

• 大規模な複素数 $ a $ における一般化されたMathieu級数 $ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^\gamma}{(n^\lambda + a^\lambda)^\mu} $ の漸近的挙動を分析すること。
• $ \lambda $ および $ \gamma $ が偶数整数である場合の漸近的展開の構造を調査し、有限代数的展開と無限個の指数的に小さい寄与項の列が生じることを明らかにすること。
• $ \mu $ が正の整数である場合に、漸近的展開の構造を活用して級数の閉形式評価を導出すること。
• 大規模な $ |a| $ における導出された漸近的展開の正確性を数値的に検証すること。

提案手法

• $ h(x) = \frac{x^{\gamma}}{(1 + x^{\lambda})^\mu} $ のMellin変換を用いて、一般化されたMathieu級数の積分表現を導出する。
• Mellin逆変換定理を用いて、リーマンゼータ関数と $ h(x) $ のMellin変換を含む contour 積分として級数を表現する。
• 留数定理を適用して積分を評価し、ゼータ関数およびMellin変換の極から生じる代数的項と指数的項を特定する。
• ゼータ関数の負の偶数における極と関連するBorel和法技術を用いて、指数的に小さい寄与項を導出する。
• $ \mu $ が整数である場合、ゼータ関数の関数等式と留数計算を用いて、双曲線関数および指数的項を含む閉形式の表現を導出する。
• 級数の交代型への拡張は、恒等式 $ \tilde{S}_{\mu,\gamma}(a;\lambda) = S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) - 2^{1-\delta} S_{\mu,\gamma}(a/2;\lambda) $ を用い、修正された指数的項を含む漸近的展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \lambda $ および $ \gamma $ が偶数整数であるとき、$ |a| \to \infty $ における一般化されたMathieu級数 $ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ の漸近的構造は何か、特に $ |\arg a| < \pi/\lambda $ の領域で。
• RQ2 本質的特異点が存在しないにもかかわらず、なぜ漸近的展開に無限個の指数的に小さい項が含まれるのか。
• RQ3 $ \mu $ が正の整数である場合に、級数の閉形式評価を導出できるか。その構造はどのようなものか。
• RQ4 指数的に小さい項は、ゼータ関数およびMellin変換の解析的構造からどのように生じるのか。
• RQ5 交代級数 $ \tilde{S}_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ の漸近的挙動は非交代の場合とどのように異なり、その漸近的形は何か。

主な発見

• $ \lambda $ および $ \gamma $ が偶数整数であるとき、$ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ の漸近的展開は、有限代数的展開と、次第に支配的でなくなる指数的に小さい項の無限列から成る。
• $ \mu $ が整数である場合、級数は閉形式で評価可能である：$ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) = H_{\mu,\gamma}(a;\lambda) + \sum_{r=0}^{p-1} e^{i\vartheta\omega_r} E_r(a) $、ここで $ H_{\mu,\gamma} $ は代数的であり、$ E_r(a) $ は指数的に小さい。
• $ \mu = 1 $、$ \gamma = 2m $、$ \lambda = 2p $ の場合、級数は $ S_{1,2m}(a;2p) = H_{1,2m}(a;2p) + \frac{(-)^m \pi}{2p a^{2p-2m-1}} \sum_{r=0}^{p-1} e^{i\vartheta\omega_r} \coth(\pi a e^{i\omega_r}) $ に等しい。
• $ \mu = 3 $、$ \gamma = \lambda = 2 $ の場合、閉形式は $ S_{3,2}(a;2) = \frac{\pi}{16a^3} - \frac{\pi^3}{2a} \frac{e^{-2\pi a}}{(1 - e^{-2\pi a})^2} \left( \frac{1 + e^{-2\pi a}}{(1 - e^{-2\pi a})^2} + \frac{1}{2\pi a (1 - e^{-2\pi a})} - \frac{1}{(2\pi a)^2} \right) $ に等しい。
• 交代級数 $ \tilde{S}_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ は、$ \tilde{K}_j(X_r;\mu) = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-(n-1)X_r}}{(n - 1/2)^{1-\mu+j}} $ を用いて定義される修正された指数的項 $ \tilde{E}_r(a) $ を含む漸近的展開を持つ。ここで $ X_r = 2\pi a e^{i\omega_r} $ である。
• 数値的結果により、漸近的展開の正確性が確認され、大規模な $ a $ において誤差が約 $ 10^{-11} $ のオーダーであることが示され、理論的予測が妥当であることが裏付けられた。