[論文レビュー] Expressiveness modulo Bisimilarity of Regular Expressions with Parallel Composition (Extended Abstract)

Muller, T. I.M., Van Tilburg, Paul+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Formal Methods in Verification被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、双模倣に基づく並列合成演算子を備えた正規表現の表現力について調査する。純粋なインタリーブィングを追加することで表現力が向上することを証明し、さらにそれをACPスタイルの並列合成とカプセル化に置き換えることで、同型を除いてすべての有限オートマトンを表現可能となる。これはクレーネの定理のプロセス理論的対応である。

ABSTRACT

The languages accepted by finite automata are precisely the languages denoted by regular expressions. In contrast, finite automata may exhibit behaviours that cannot be described by regular expressions up to bisimilarity. In this paper, we consider extensions of the theory of regular expressions with various forms of parallel composition and study the effect on expressiveness. First we prove that adding pure interleaving to the theory of regular expressions strictly increases its expressiveness up to bisimilarity. Then, we prove that replacing the operation for pure interleaving by ACP-style parallel composition gives a further increase in expressiveness. Finally, we prove that the theory of regular expressions with ACP-style parallel composition and encapsulation is expressive enough to express all finite automata up to bisimilarity. Our results extend the expressiveness results obtained by Bergstra, Bethke and Ponse for process algebras with (the binary variant of) Kleene's star operation.

研究の動機と目的

• 並列合成演算子を追加することで、双模倣に基づく正規表現の表現力にどのような影響を与えるかを特定すること。
• 異なる並列合成メカニズムを用いた正規表現拡張の間で、表現力の厳密な階層を確立すること。
• ACPスタイルの並列合成とカプセル化が、同型を除いてすべての有限オートマトンを表現可能であることを示すこと。
• 任意の有限オートマトンをACP∗0,1(A,γ)式に変換する構成的技法を提供すること。

提案手法

• 正規表現で表される有限オートマトンおよびインタリーブィングを用いたものにおける強連結成分（SCC）を特徴付け、終了遷移に関する構造的制約を同定する。
• 制御ベースのエンコードを用い、enter/leaveアクションとハンドシェイキング通信関数γを導入することで、ACPスタイルの並列合成をモデル化する。
• 任意の有限オートマトンFに対して、各状態siに対応するプロセスpiを関連付け、成功終了を表す1と、カプセル化を表す∂Cを用いてACP∗0,1(A,γ)式pFを構成する。
• 状態遷移と制御フローをモデル化するため、pi = 1·enteri·(∑k∈Ki,i ak)*·(∑j≠i ∑k∈Ki,j leavek,i + (1 if si↓)) * と定義する。
• すべてのpiの並列合成を∂Cでカプセル化することで、元のオートマトンFと同型なプロセスが得られることを証明する。
• 同型性を活用して、ACP∗0,1(A,γ)が、中間終了を伴うオートマトンを含めて、有限オートマトンを完全に表現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規表現に純粋なインタリーブィングを追加することで、双模倣に基づく表現力が向上するか？
• RQ2 通信機能とカプセル化を備えたACPスタイルの並列合成により、すべての有限オートマトンを双模倣を除いて表現可能か？
• RQ3 正規表現およびインタリーブィングベースの表現におけるSCCからの終了遷移に関する構造的制約は、それらの表現力の特徴付けに十分か？
• RQ4 ACPスタイルの拡張において、完全な表現力を達成するためにカプセル化は必須か？
• RQ5 BPA∗0,1(A) ≺ PA∗0,1(A) ≺ ACP∗0,1(A,γ) という表現力の階層は、厳密に確立可能か？

主な発見

• 正規表現に純粋なインタリーブィングを追加することで、双模倣に基づく表現力が厳密に向上し、標準的な正規表現では満たせない終了遷移制約を満たすオートマトンの表現が可能になる。
• インタリーブィングをACPスタイルの並列合成に置き換えることで、さらに表現力が向上し、インタリーブドシステムにおけるSCCの構造的性質に反するオートマトンの構築が可能になる。
• ACPスタイルの並列合成とカプセル化を備えた正規表現理論は、同型を除いてすべての有限オートマトンを表現可能であり、したがって双模倣を除いても同様である。
• 元のオートマトンFとpFが表すオートマトンとの同型性は、enter/leaveアクションとハンドシェイキング通信関数γを用いた制御ベースのエンコードによって明示的に構成されている。
• 成功終了を表す定数1と単項Kleeneスターロケーションの導入により、中間終了を伴う状況下でも完全な表現力が達成可能であり、これにより従来の手法が複雑化するのを回避できる。
• カプセル化が本質的であると推測される：∂Hを削除すると、第4節の重要な例で示されるように、表現力が低下する可能性がある。