[論文レビュー] Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds

Boris Dubrovin, Youjin Zhang|ArXiv.org|Nov 24, 1996

Advanced Algebra and Geometry被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、斎藤のものとは異なる新しい拡張アフィンワイル群のクラスを導入し、その不変量に対してチーガル型の定理を証明し、その軌道空間にフロベニウス多様体構造を構成する。主な結果は、すべての変数について多項式的であるが、特定の一つの変数に関しては指数関数的であるような、WDVV結合則方程式の解が得られることであり、数学的物理および幾何学における新しい可積分構造を提供する。

ABSTRACT

We define certain extensions of affine Weyl groups (distinct from these considered by K. Saito [S1] in the theory of extended affine root systems), prove an analogue of Chevalley theorem for their invariants, and construct a Frobenius structure on their orbit spaces. This produces solutions $F(t_1, ..., t_n)$ of WDVV equations of associativity polynomial in $t_1, ..., t_{n-1}, \exp t_n$.

研究の動機と目的

• 斎藤の拡張ルート系に基づかない、新しい拡張アフィンワイル群のクラスを定義すること。
• これらの群の不変量に対してチーガル型の定理を確立し、古典的不変量理論をこの拡張された設定に一般化すること。
• これらの群の軌道空間にフロベニウス多様体構造を構成することで、群論と可積分系を結びつけること。
• すべての変数について多項式的で、一つの変数について指数関数的であるような、WDVV結合則方程式の明示的解を生み出すこと。
• 群論的構成を用いて、可積分階層およびトポロジカル量子場理論を理解するための幾何学的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 斎藤とは異なる拡張ルート系を用いて、拡張アフィンワイル群の新しい構成を導入すること。
• これらの群の不変量環が、n個の代数的に独立な不変量によって自由に生成されることを証明し、チーガルの定理を一般化すること。
• 不変量を用いて、軌道空間の接バンドルに平坦な計量と可換かつ結合的な積を定義すること。
• t₁,…,tₙについて多項式的で、exp(tₙ)について有理的であるような、潜在関数F(t₁,…,tₙ)を構成すること。
• 平坦構造と前位相Fを用いて、結合則方程式（WDVV）を検証し、フロベニウス多様体の公理が満たされることを保証すること。
• フロベニウス多様体の理論を用いて、得られた解を、非自明なモノドロミーと拡張された対称性を持つWDVV方程式の解として解釈すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変量がチーガル型の定理を満たすような、斎藤のものとは異なる新しい拡張アフィンワイル群のクラスを定義できるか？
• RQ2 これらの群の軌道空間は、自然なフロベニウス多様体構造を有するか？
• RQ3 すべての変数について多項式的で、一つの変数について指数関数的であるような、WDVV方程式の解を構成できるか？
• RQ4 この新しい群のクラスは、可積分系の文脈において、幾何学的・代数的意味をどのように有するか？
• RQ5 この構成は、既存のフロベニウス多様体理論およびトポロジカル量子場理論とどのように関係するか？

主な発見

• 斎藤とは異なる、良好な不変量環を有する新しい拡張アフィンワイル群のクラスが定義され、その不変量環は多項式環に同型である。
• 群の不変量環は、n個の代数的に独立な同次不変量によって自由に生成され、古典的チーガルの定理が拡張される。
• 群の軌道空間に、平坦計量と接バンドル上の可換かつ結合的な積を備えたフロベニウス多様体構造が構成される。
• t₁,…,tₙ₋₁について多項式的で、exp(tₙ)について有理的であるような潜在関数F(t₁,…,tₙ)が明示的に構成される。
• WDVV方程式の解が非退化的で、有限型であり、明確に定義された前位相と平坦構造を持つことが示される。
• この構成により、多項式的・指数関数的混合依存を持つ、WDVV方程式の新たな解の族が得られ、フロベニウス多様体の分類が豊かになる。