[論文レビュー] Extended de Finetti theorems for boolean independence and monotone independence

Weihua Liu|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、双方向量子系列とその関連する量子写像族を導入することで、非可換確率におけるブールおよび単調独立性の拡張されたデ・フィネッティの定理を確立する。無限大の双方向系列の確率変数がブール（または単調）に分散可能であることは、変数が同一分布に従い、端末代数への条件付き期待値に関してブール（または単調）に独立であることと同値であることを証明しており、古典的および自由独立性の結果をこれらの非可換設定に一般化する。

ABSTRACT

We construct several new spaces of quantum sequences and their quantum families of maps in sense of Sołtan. Then, we introduce noncommutative distributional symmetries associated with these quantum maps and study simple relations between them. We will focus on studying two kinds of noncommutative distributional symmetries: monotone spreadability and boolean spreadability. We provide an example of a spreadable sequence of random variables for which the usual unilateral shift is an unbounded map. As a result, it is natural to study bilateral sequences of random objects, which are indexed by integers, rather than unilateral sequences. In the end of the paper, we will show Ryll-Nardzewski type theorems for monotone independence and boolean independence: Roughly speaking, an infinite bilateral sequence of random variables is monotonically(boolean) spreadable if and only if the variables are identically distributed and monotone(boolean) with respect to the conditional expectation onto its tail algebra. For an infinite sequence of noncommutative random variables, boolean spreadability is equivalent to boolean exchangeability.

研究の動機と目的

• 古典的なデ・フィネッティの定理を非可換独立性関係、特にブールおよび単調独立性へ拡張すること。
• 単方向列の制限を克服するため、整数でインデックス付けされた双方向列を導入すること。
• 量子写像族を用いて非可換分布的対称性（ブールおよび単調な分散可能性）を定義・研究すること。
• W*-確率空間におけるブールおよび単調独立性のリル・ナールツェフ型定理を確立すること。
• 非可換設定において、ブールの分散可能性がブールの交換可能性と同値であることを示すこと。

提案手法

• ソルタンの意味での量子系列および量子写像族の新しい空間を、ワンの量子置換群に類似した量子半群を用いて構築する。
• 量子シフト写像における不変性を用いて、非可換分布的対称性（単調およびブールの分散可能性）を導入する。
• 双方向系列における正および負の条件付き期待値 $E^+$ および $E^-$ を定義し、弱オペレーター位相の極限を用いて、整備されたフォン・ノイマン代数全体へ拡張する。
• ブールに分散可能な双方向系列に対して、$E^+ = E^-$ が成り立つことを証明し、正および負の端末代数が一致することを示す。
• シフト写像における状態の不変性および条件付き期待値の構造を用いて、独立性関係を導出する。
• リル・ナールツェフの定理の枠組みを応用し、分散可能性が端末代数に関する条件付き独立性を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デ・フィネッティ型の定理を古典的および自由独立性からブールおよび単調独立性へ拡張できるか？
• RQ2 非可換設定において、ブールの分散可能性はブールの交換可能性と同値か？
• RQ3 非可換分布的対称性の下で、双方向系列の確率変数は単方向系列と比べてどのように振る舞うか？
• RQ4 端末代数は、無限大系列におけるブールおよび単調独立性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 分散可能な系列の場合に、端末代数への条件付き期待値を全代数へ拡張できるか？

主な発見

• 自己随伴確率変数の無限大双方向系列がブールに分散可能であることは、変数が同一分布に従い、正の端末代数への条件付き期待値に関してブールに独立であることと同値である。
• ブールに分散可能な双方向系列に対して、正および負の条件付き期待値が一致する。すなわち、$E^+ = E^-$ であり、端末代数が同一であることを示唆する。
• ブールの分散可能性はブールの交換可能性を意味し、双方向設定では両概念が同値である。
• 単調な分散可能性は、端末代数への条件付き期待値に関して単調独立性を意味する。これは、古典的リル・ナールツェフの定理を単調独立性へ拡張する。
• 通常の単方向シフト写像は、分散可能な系列では有界でないことがあるため、$\mathbb{Z}$ でインデックス付けされた双方向列の使用が正当化される。
• 証明は、シフト写像における状態の不変性および反復条件付き期待値が端末期待値に収束することに依存する。