[論文レビュー] Extended obstruction tensors and renormalized volume coefficients

C. Robin Graham|ArXiv.org|Oct 23, 2008

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、共形幾何における正規化体積係数の自然な構成要素として、拡張された遮断テンソルを導入する。これらは、曲率およびその共変微分を含む再帰的で微分に基づく構造を用いて、共形変換の下での変換を分析することにより、$\sigma_k$-ヤマベ問題におけるそれらの類似物とは異なり、望ましい変分的および共形不変性の性質を満たすことを確立する。

ABSTRACT

The behavior under conformal change of the renormalized volume coefficients associated to a pseudo-Riemannian metric is investigated. It is shown that they define second order fully nonlinear operators in the conformal factor whose algebraic structure is elucidated via the introduction of "extended obstruction tensors". These together with the Schouten tensor constitute building blocks for the coefficients in the ambient metric expansion. The renormalized volume coefficients have recently been considered by Chang-Fang motivated by comparison with the elementary symmetric functions of the eigenvalues of the Schouten tensor.

研究の動機と目的

• 正規化体積係数 $v_k(g)$ の共形変換特性を調査すること。これらは、アンビエントまたはポアンカレ計量の構成から生じる。
• $k \geq 3$ の一般の計量において $\sigma_k(g^{-1}P)$ が変分的および共形不変性を満たさないという問題を、より頑健な代替手段として $v_k(g)$ を用いることで解決すること。
• アンビエント計量展開の構造を記述する根幹をなす幾何的対象として「拡張された遮断テンソル」を導入し、それらを分析すること。
• $\sigma_k(g^{-1}P)$ がその性質を失う場合でも、$n \neq 2k$ のとき $v_k(g)$ が望ましい性質（例えば、$n \neq 2k$ のとき、制約付き汎関数のオイラー＝ラグランジュ方程式であること）を保つことを確立すること。
• 曲率の微分と共形変動を含む非線形で帰納的なアルゴリズムを用いて、$v_k(g)$ を体系的に計算するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 計量 $g$ の曲率およびその共変微分から得られる自然で共形不変なテンソルとして、拡張された遮断テンソルを導入する。
• アンビエント計量構成を用い、$\rho = -\frac{1}{2}r^2$ とし、$g_\rho = h_r$ を定義し、体積形式の展開から $v_k(g)$ を抽出する。具体的には、$\left(\frac{\det g_\rho}{\det g_0}\right)^{1/2} \sim 1 + \sum_{k=1}^\infty v_k \rho^k$ を用いる。
• 共形変動技術を適用し、$\widehat{g}_t = e^{2t\Upsilon}g$ の下での $v_k(g)$ の変換を分析する。特に、レベル $N+1$ のテンソル $T$ の無限小変動 $\underline{\delta}T(g,\omega)$ に注目する。
• $\underline{\delta}T(g,\omega)$ を、$\omega$ の微分の和として再帰的に分解する。このとき、レベルが低下するテンソル $S_{(l)}(g)$ を用い、対称な添字と制御された微分次数を持つ。
• レベル $N$ に関する帰納法を用いて、第二変動 $\underline{\delta}^2 T$ および総変化 $\Delta T(g,\omega)$ が、$\omega$ の高々 $m$ 階微分を含むことを証明し、共形歪みの下でも構造が適切に保たれることを保証する。
• 積の法則とリッチの恒等式を適用し、$\nabla^l \omega$ への依存性を制御することで、得られるテンソルが自然かつ添字に関して対称のままであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化体積係数 $v_k(g)$ は、計量の共形変換の下でどのように変化するのか。どのような構造的性質を満たすのか。
• RQ2 $v_k(g)$ が $n=2k$ および $n \neq 2k$ の両方の次元で変分的および共形不変性を保つ理由は何か。$\sigma_k(g^{-1}P)$ とは対照的に、なぜそのような性質が成り立つのか。
• RQ3 アンビエント計量およびその曲率展開が $v_k(g)$ の定義に果たす役割は何か。また、遮断テンソルとはどのように関係しているか。
• RQ4 $v_k(g)$ が曲率の高階微分に依存する部分を体系的かつ制御可能に記述できるか。
• RQ5 $v_k(g)$ の共形変動の代数的構造は何か。また、拡張された遮断テンソルの概念とどのように関係しているか。

主な発見

• 正規化体積係数 $v_k(g)$ は、アンビエントまたはポアンカレ計量の体積形式の展開から定義され、$g$ の曲率およびその共変微分の多項式自然テンソルである。
• $k \geq 3$ のとき、$v_k(g)$ は曲率の微分まで $2k-4$ 階まで依存するため、$\sigma_k(g^{-1}P)$ よりも複雑である。$\sigma_k(g^{-1}P)$ は曲率そのものにのみ依存する。
• 次元 $n=2k$ のとき、$\int_M v_k(g)\,dv_g$ は一般の計量に対して共形不変である。一方、$\sigma_k(g^{-1}P)$ はこの性質を満たさない。
• $n \neq 2k$ のとき、$v_k(g) = c$ は、体積を固定する共形変動の下で、汎関数 $\int_M v_k(g)\,dv_g$ のオイラー＝ラグランジュ方程式である。$g$ が局所的に共形平坦でない場合、$\sigma_k(g^{-1}P)$ はこの性質を満たさない。
• 拡張された遮断テンソルは、アンビエント計量展開の基本的構成要素として導入され、$v_k(g)$ 及びその共形変動の構造を制御する自然で共形不変なテンソルであることが示された。
• $v_k(g)$ の共形変動は、高々 $m$ 階微分の共形因子 $\omega$ に依存し、対称テンソル族 $S_{(l)}(g)$ を通じて再帰的構造が制御されることにより、一貫性と微分次数の有限性が保証される。