[논문 리뷰] Extended TQFT arising from enriched multi-fusion categories

Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 33인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 모듈라 텐서 카테고리 𝒞에 대해, 자기 enrich된 다중 융합 카테고리 𝔠 = (𝒞, 𝒞̄)를 통해, 대칭 모나드 (4,3)-카테고리인 풍부화된 다중 융합 카테고리의 전체적인 3차원 TQFT를 제안한다. 이 카테고리에서 𝔠는 완전 이중가능한 객체로 기능한다. 결과적으로 이 TQFT는 차원 0까지 확장된 Reshetikhin-Turaev TQFT를 제공하며, 이중 이론은 Turaev-Viro 불변량을 복원한다. 이는 확장된 이론 내에서 채널/반채널 상쇄를 통해 프레임링 이상을 해결한다.

ABSTRACT

We define a symmetric monoidal (4,3)-category with duals whose objects are certain enriched multi-fusion categories. For every modular tensor category $\mathcal{C}$, there is a self enriched multi-fusion category $\mathfrak{C}$ giving rise to an object of this symmetric monoidal (4,3)-category. We conjecture that the extended 3D TQFT given by the fully dualizable object $\mathfrak{C}$ extends the 1-2-3-dimensional Reshetikhin-Turaev TQFT associated to the modular tensor category $\mathcal{C}$ down to dimension zero.

연구 동기 및 목표

• 풍부화된 다중 융합 카테고리들을 객체로 가지며 이중성이 있는 대칭 모나드 (4,3)-카테고리를 구성한다.
• 모듈라 텐서 카테고리 𝒞에서 유래된 자기 풍부화된 다중 융합 카테고리 𝔠 = (𝒞, 𝒞̄)가 완전 이중가능한 객체임을 보인다.
• 확장된 TQFT 𝒁_𝔠가 차원 0까지 확장된 Reshetikhin-Turaev TQFT임을 추측한다.
• 이 확장된 TQFT의 이중 이론이 Turaev-Viro TQFT와 동치임을 보인다.
• Reshetikhin-Turaev TQFT의 프레임링 이상이 확장된 이론 내에서 채널 및 반채널 성분에 의한 상쇄로 해소됨을 주장한다.

제안 방법

• 브라운드 모나드 카테고리에 대해 enrich된 다중 융합 카테고리를 정의하며, 특히 모듈라 텐서 카테고리의 자기 enrich를 중심으로 다룬다.
• 풍부화된 다중 융합 카테고리들을 객체로 가지며, 사상들이 이중 모듈러스인 대칭 모나드 (4,3)-카테고리 𝕀𝒰𝕄𝔽𝑪^en을 구성한다.
• 단위성에 기반하여 이 카테고리 내에서 이중성을 확립하며, 이중성이 enrich와 잘 조화됨을 보장한다.
• 자기 풍부화된 카테고리 (𝒞, 𝒞̄)의 드린펠트 중심이 𝒞 자체와 동치임을 보이며, [KZ2]에서 확인된 linh를 기반으로 한다.
• 코보르디즘 가설을 사용하여, 완전 이중가능한 객체 (𝒞, 𝒞̄)를 통해 점에 대한 확장된 TQFT를 할당한다.
• 1-, 2-, 3차원 다양체에서 TQFT의 값을 분석하여, Reshetikhin-Turaev 이론과 Crane-Yetter 이론의 특징을 모두 통합함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 모듈라 텐서 카테고리 𝒞에 대해 Reshetikhin-Turaev TQFT는 차원 0까지 확장될 수 있는가?
• RQ2 경계가 Reshetikhin-Turaev TQFT인 완전히 확장된 TQFT에서 점에 할당되어야 할 수학적 객체는 무엇인가?
• RQ3 완전히 확장된 설정에서 Reshetikhin-Turaev TQFT의 프레임링 이상은 어떻게 상쇄될 수 있는가?
• RQ4 제안된 확장된 TQFT의 이중 이론은 Turaev-Viro TQFT와 동치인가?
• RQ5 모든 풍부화된 다중 융합 카테고리는 SO(3)-고정점으로서 승격될 수 있으며, 이는 방향 전환에 대한 불변성을 보장하는가?

주요 결과

• 자기 풍부화된 다중 융합 카테고리 𝔠 = (𝒞, 𝒞̄)는 풍부화된 다중 융합 카테고리의 대칭 모나드 (4,3)-카테고리 내에서 완전 이중가능하다.
• 확장된 TQFT 𝒁_𝔠는 1-, 2-, 3차원 다양체에 대해 Reshetikhin-Turaev 이론과 Crane-Yetter 이론의 특징을 모두 반영하는 값을 할당한다.
• 이중 이론 𝒁_𝔠 ⊠ 𝒫은 Turaev-Viro TQFT 𝒁^TV_𝒞와 동치이며, 기존의 이중성 결과와의 일관성을 확인한다.
• Reshetikhin-Turaev TQFT의 프레임링 이상은 확장된 이론 내에서 채널 및 반채널 성분에 의한 상쇄로 해소되며, 이는 𝒁_𝔠(S¹)의 (Z(𝔠^♯), 𝔥) 및 (𝒞₂, Fun(𝒞₂, 𝒞₂))로의 분해에 의해 뒷받침된다.
• 대칭 모나드 (4,3)-카테고리 𝕀𝒰𝕄𝔽𝑪^en은 잘 정의된 이중성을 보이며, 이중성은 다양한 enrich 방식에서도 반대 이중 모듈러스 구성에 의해 정의된다.
• 이 구성은 풍부화된 융합 카테고리들을 통해 2+1차원 위상적 순서의 겉과 갈라진 경계를 묘사하는 프레임워크를 제안한다.