[論文レビュー] Extending Growth Mixture Models Using Continuous Non-Elliptical Distributions

Yuhong Wei, Yang Tang+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Statistical Methods and Bayesian Inference参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、成長混合モデル（GMMs）を拡張し、連続的で非楕円型の分布—特に多変量スケューT分布および一般化された超幾何分布—を組み込むことで、歪みと重たい尾を持つ縦断的データをよりよくモデル化することを目的としている。正規分布の混合分布と一般化逆ガウス分布を用いて、ランダム効果と測定誤差をこれらの柔軟な分布でモデル化することで、非正規性下でも、ガウス型GMMと比較して、モデルの適合度が著しく向上し、誤ったクラス抽出のリスクが低減される。

ABSTRACT

Growth mixture models (GMMs) incorporate both conventional random effects growth modeling and latent trajectory classes as in finite mixture modeling; therefore, they offer a way to handle the unobserved heterogeneity between subjects in their development. GMMs with Gaussian random effects dominate the literature. When the data are asymmetric and/or have heavier tails, more than one latent class is required to capture the observed variable distribution. Therefore, a GMM with continuous non-elliptical distributions is proposed to capture skewness and heavier tails in the data set. Specifically, multivariate skew-t distributions and generalized hyperbolic distributions are introduced to extend GMMs. When extending GMMs, four statistical models are considered with differing distributions of measurement errors and random effects. The mathematical development of GMMs with non-elliptical distributions relies on their expression as normal variance-mean mixtures and the resultant relationship with the generalized inverse Gaussian distribution. Parameter estimation is outlined within the expectation-maximization framework before the performance of our GMMs with non-elliptical distributions is illustrated on simulated and real data.

研究の動機と目的

• 歪みや重たい尾を持つ非正規縦断的データを扱う際のガウス型GMMの限界を解消すること。
• 連続的で非楕円型の分布を用いた柔軟なGMM拡張を提案し、モデル適合度を向上させるとともに、誤ったクラス検出を低減すること。
• 不均一性、歪み、重たい尾を持つ誤差構造下でも、成長曲線とクラス所属の正確な推定を可能にすること。
• 正規分布の混合分布表現を用いたEMアルゴリズムを用いたパラメータ推定の統計的原則に基づくフレームワークを提供すること。
• 正規性仮定が満たされない状況において、シミュレーションおよび実データで非楕円型GMMがガウス型GMMを上回ることを示すこと。

提案手法

• ランダム効果と測定誤差に一般化された超幾何分布および多変量スケューT分布を用いたGHD-GMMおよびGST-GMMモデルを、従来のGMMを拡張することで提案する。
• これらの分布の正規分布の混合分布表現を用い、混合分散が一般化逆ガウス（GIG）分布に従うことを活用する。
• 正規分布の混合分布の階層的構造を用いて尤度を定式化し、EMに基づくパラメータ推定を可能にする。
• 4つのモデルバリエーションを実装：スケューの性質をデータ空間または成長要因空間に配置した場合のGHD-GMMおよびGST-GMM。
• 混合分布表現から導かれる条件付き分布を活用し、EMアルゴリズムを用いてモデルパラメータを推定する。
• 最適な潜在クラス数の選択および競合モデル間のモデル適合度比較のため、ベイズ情報量基準（BIC）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非楕円型分布を用いたGMMは、ガウス型GMMと比較して、縦断的データの歪みや重たい尾をよりよく捉えることができるか？
• RQ2 スケューT分布および一般化された超幾何分布の導入は、非正規性下でのクラス数の特定とモデル適合度にどのように影響するか？
• RQ3 データ空間における歪みか成長要因空間における歪みのどちらのパrameterizationが、より解釈可能で効率的なモデルをもたらすか？
• RQ4 非正規誤差分布の影響によって生じる誤った潜在クラスの検出リスクを、提案モデルはどの程度低減できるか？
• RQ5 データが正規性から逸脱する状況において、提案モデルは心理的および生物統計的応用を含む実世界の応用において、ガウス型GMMの代替として頑健に機能するか？

主な発見

• 非正規ランダム効果を伴うシミュレーション1では、ガウス型GMMがクラス数を過剰に推定した（4クラス：67％、5クラス：33％）が、提案されたGHD-GMMおよびGST-GMMモデルは100％の確率で2クラスを正しく特定した。
• 非正規測定誤差を伴うシミュレーション2でも、ガウス型GMMは再びクラス数を過剰に推定した（3クラス：24％、4クラス：57％）が、提案モデル（モデルIIおよびIV）は100％の確率で2クラスを正しく選択した。
• 両シミュレーションにおいて、BICはガウス型GMMおよび他のモデル仕様と比較して、提案されたGHD-GMMおよびGST-GMMモデル（モデルIおよびII）を一貫して優先した。
• データ空間に歪みパラメータを配置したモデル（β_ηk = 0のGHD-GMM）はより解釈可能であったが、成長要因空間に歪みを配置したモデル（β_yk = 0のGHD-GMM）はパラメータ数が少なく、モデルの単純さに優れていた。
• 一般化された超幾何分布族は、スケューT分布、分散ガンマ分布、正規逆ガウス分布を特別なケースとして含み、多様なデータ構造へのモデルの柔軟性を高めている。
• BMI発達などの非正規アウトカムを伴う実データの適合において、提案モデルは非正規性に起因する潜在クラスの抽出リスクを低減することで、ガウス型GMMを上回る性能を示した。