[論文レビュー] Extending Sobolev Functions with Partially Vanishing Traces from Locally (epsilon,delta)-Domains and Applications to Mixed Boundary Problems

Kevin Brewster, Dorina Mitrea+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域における、境界上部のトレースが部分的に消えるSobolev関数の有界線形拡張作用素の存在を確立し、高階Sobolev空間の関数解析的枠組みを提供する。主な貢献は、このような領域における高階楕円型系の混合境界値問題の適切な定式化であり、特に強楕円性およびAhlfors正則性条件の下で$p$が2に近い場合に成立する。

ABSTRACT

We prove that given any positive integer $k$, for each open set $Ω$ and any closed subset $D$ of its closure such that $Ω$ is locally an (epsilon,delta)-domain near points in the boundary of $Ω$ not contained in $D$ there exists a linear and bounded extension operator $E$ mapping, for each $p\in[1,\infty]$, the space $W^{k,p}_D(Ω)$ into $W^{k,p}_D({\mathbb{R}}^n)$. Here, with $O$ denoting either $Ω$ or the entire ambient, the space $W^{k,p}_D(O)$ is defined as the completion in the classical Sobolev space $W^{k,p}(O)$ of compactly supported smooth functions whose supports are disjoint from $D$. In turn, this result is used to develop a functional analytic theory for the class $W^{k,p}_D(Ω)$ (including intrinsic characterizations, boundary traces and extensions results, interpolation theorems, among other things) which is then employed in the treatment of mixed boundary value problems formulated in locally (epsilon,delta)-domains.

研究の動機と目的

• 閉集合$D \subset \overline{\Omega}$上でのトレースが部分的に消えるSobolev空間$W^{k,p}_D(\Omega)$の関数解析的理論の構築。
• $\Omega$が$\partial\Omega \setminus D$近傍で局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域である場合、$W^{k,p}_D(\Omega)$に属する関数を$W^{k,p}_D(\mathbb{R}^n)$に線形かつ有界に拡張する作用素の構成。
• 拡張理論を非Lipschitz領域における高階楕円型系の混合境界値問題の可解性に応用。
• 強楕円性と$p$が2に近い条件の下で、$(\varepsilon,\delta)$-領域における非同次Poisson問題およびNeumann問題の適切な定式化の確立。

提案手法

• Whitney型分割と分区画の単位を用いた、新規な手法に基づく線形拡張作用素$\mathfrak{E}_{k,D}$の構成。
• 実および複素補間理論を用いてトレース空間を特徴付け、$L^p$からBesov空間への結果の拡張。
• 局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域の概念を用いて、古典的拡張定理をLipschitz領域を超えて一般化。
• 有界性の保証のため、開写像定理と双対性を用いる。
• 解の境界近傍での挙動を制御するため、強楕円性条件および境界のAhlfors正則性に依存。
• 非同次問題を分解$u = v + w$によりDirichlet問題に還元、ここで$v$はトレースを一致させ、$w$は残差を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界上部$D$が$\overline{\Omega}$の閉集合であるとき、$\Omega$が$\partial\Omega \setminus D$近傍で局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域である場合、トレースが部分的に消えるSobolev関数が$\mathbb{R}^n$上に有界かつ線形に拡張可能か。
• RQ2 空間$W^{k,p}_D(\Omega)$の内在的特徴づけ、ならびにトレースおよび拡張性質は何か。
• RQ3 局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域における高階楕円型系の混合境界値問題が、どのような幾何的および解析的条件下で適切に定式化可能か。
• RQ4 Ahlfors正則境界を持つ非Lipschitz領域において、$p$が2に近い場合にPoisson問題およびNeumann問題の適切な定式化を確立できるか。

主な発見

• 任意の$k \in \mathbb{N}$, $p \in [1,\infty]$, 任意の閉集合$D \subset \overline{\Omega}$に対して、$\Omega$が$\partial\Omega \setminus D$近傍で局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域である限り、$W^{k,p}_D(\Omega)$から$W^{k,p}_D(\mathbb{R}^n)$への線形かつ有界な拡張作用素$\mathfrak{E}_{k,D}$が存在する。
• $W^{k,p}_D(\Omega)$は、内在的特徴づけ、トレース作用素、補間定理を含む完全な関数解析的理論を備える。
• 完全非同次Poisson問題$\mathcal{L}u = f$, $\mathscr{R}^{(m)}_{\Omega \to \partial\Omega}u = \dot{g}$は、$p$が2の小さな近傍内、具体的には$\frac{p_*}{p_* - 1} < p < p_*$で適切に定式化され、$p_*$は$n, m, M, d, \Omega, A, \kappa$に依存する。
• 同様の$p$の範囲で非同次Neumann問題も適切に定式化され、解は次数$m-1$の調和多項式を除いて一意であり、適合条件$\langle f, v \rangle = 0$がすべての$v \in \mathcal{P}_{m-1}(\Omega)$に対して成り立つ。
• CalderónおよびSteinの古典的拡張定理が、Lipschitz領域を超えて、トレースが部分的に消える状況を含むより広いクラスの局所的$(\varepsilon,\delta)$-領域へと拡張された。
• 強楕円性およびAhlfors正則境界条件の下で、有界可測係数を持つ高階楕円型系に対しても理論が適用可能であり、$p$が2に近い場合の$W^{m,p}$空間における可解性を保証する。