[論文レビュー] Extending the Prym map to toroidal compactifications of the moduli space of abelian varieties

Sebastian Casalaina‐Martin, Samuel Grushevsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、主偏極付アーベル多様体のモジュライ空間のトロイダルコンパクト化へ、安定曲線の適切な二重被覆へのPrym写像を拡張するホッジ理論的枠組みを提供する。モノドロミー・コーン解析を通じて幾何的および組み合わせ的側面を分離することで、完全および中央コーンコンパクト化における不定性の特異点集合について完全な組み合わせ的特徴付けが得られ、余次元6まで幾何的に記述可能であり、余次元4までに明示的なトロイダル解消が構成可能である—これは第二ヴォロノイコンパクト化に関する先行研究を統合・拡張するものである。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to present a conceptual approach to understanding the extension of the Prym map from the space of admissible double covers of stable curves to different toroidal compactifications of the moduli space of principally polarized abelian varieties. By separating the combinatorial problems from the geometric aspects we can reduce this to the computation of certain monodromy cones. In this way we not only shed new light on the extension results of Alexeev, Birkenhake, Hulek, and Vologodsky for the second Voronoi toroidal compactification, but we also apply this to other toroidal compactifications, in particular the perfect cone compactification, for which we obtain a combinatorial characterization of the indeterminacy locus, as well as a geometric description up to codimension six, and an explicit toroidal resolution of the Prym map up to codimension four.

研究の動機と目的

• 主偏極付アーベル多様体のモジュライ空間のトロイダルコンパクト化へのPrym写像の拡張を、概念的なホッジ理論的アプローチで開発すること。
• モノドロミー・コーンに注目することで、拡張問題の幾何的および組み合わせ的側面を分離すること。
• 完全および中央コーンコンパクト化における不定性の特異点集合について完全な組み合わせ的特徴付けを提供すること。
• 不定性の特異点集合を余次元6まで幾何的に記述し、余次元4までに明示的なトロイダル解消を構成すること。
• より直接的でホッジ理論的な方法を用いて、第二ヴォロノイコンパクト化に関する先行結果を統合・再導出すること。

提案手法

• 古典的周期領域への周期写像の一般枠組みを用い、ピカール＝レフシェッツ型のモノドロミー変換を考察する。
• 適切な二重被覆の退化に関連するモノドロミー・コーンの計算に帰着することで、拡張問題を簡略化する。
• 安定曲線の双対グラフおよびそのホモロジーを用いて、特に辺の削除や縮約操作を通じてモノドロミー・コーン構造をモデル化する。
• グラフの単一頂点接続やループを有する場合のモノドロミー・コーン計算を簡略化するためのグラフ分解に関する組み合わせ的補題を適用する。
• 双対グラフ上の適切な対合の構造を活用し、モノドロミー・コーンをブロック対角形式に分解する。
• 既知の対応関係を通じて、結果を安定半アーベル対の言語に翻訳し、幾何的解釈を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、主偏極付アーベル多様体のモジュライ空間の異なるトロイダルコンパクト化へのPrym写像の拡張が可能となるか？
• RQ2 完全および中央コーンコンパクト化におけるPrym写像の不定性の特異点集合は、どのように組み合わせ的に特徴付けられるか？
• RQ3 適切な二重被覆のコンパクト化モジュライ空間において、不定性の特異点集合は余次元6までどのように幾何的に構造を持つのか？
• RQ4 余次元4までにPrym写像の明示的なトロイダル解消を構成可能か？
• RQ5 モノドロミー・コーン構造は、複数のノードを有するフレーリング＝スミス被覆の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 完全および中央コーンコンパクト化における不定性の特異点集合について完全な組み合わせ的特徴付けが得られ、第二ヴォロノイコンパクト化に関する以前の結果を一般化・再証明した。
• 完全コーンコンパクト化へのPrym写像の不定性の特異点集合は、少なくとも4つのノードを有するフレーリング＝スミス被覆を用いて、余次元6まで幾何的に記述可能である。
• 余次元4までにPrym写像の明示的なトロイダル解消が構成可能であり、この範囲で完全コーンおよび第二ヴォロノイコンパクト化への写像の解消が達成された。
• 少なくとも4つのノードを有するフレーリング＝スミス被覆のモノドロミー・コーンが非マトロイド的であることが示され、拡張のための組み合わせ的障害が特定された。
• 幾何的側面と組み合わせ的側面を分離することで、トーリーとPrym写像の取り扱いを統一した。
• 本フレームワークにより、安定半アーベル対の手法とは独立した、第二ヴォロノイコンパクト化への拡張結果の新しいホッジ理論的証明が可能となった。