[論文レビュー] Extensible grids: uniform sampling on a space-filling curve

Zhijian He, Art B. Owen|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元の低 discrepancy 数列（例：van der Corput 数列）を Hilbert 空間充填曲線にマッピングすることで、$[0,1]^d$ 内に拡張可能で一様に分布する数値積分点を生成する手法を提案する。得られるサンプリングは、Lipschitz 関数に対して $O(n^{-1-2/d})$ の平均二乗誤差率を達成し、特定の不連続関数に対しては $O(n^{-1-1/d})$ を達成する。これはグリッドベースの手法と同等の性能を示すが、$n$ が完全数のべき乗でなければならない制約がないため、拡張可能で次元に頑健な準モンテカルロ積分が可能になる。

ABSTRACT

We study the properties of points in $[0,1]^d$ generated by applying Hilbert's space-filling curve to uniformly distributed points in $[0,1]$. For deterministic sampling we obtain a discrepancy of $O(n^{-1/d})$ for $d\ge2$. For random stratified sampling, and scrambled van der Corput points, we get a mean squared error of $O(n^{-1-2/d})$ for integration of Lipshitz continuous integrands, when $d\ge3$. These rates are the same as one gets by sampling on $d$ dimensional grids and they show a deterioration with increasing $d$. The rate for Lipshitz functions is however best possible at that level of smoothness and is better than plain IID sampling. Unlike grids, space-filling curve sampling provides points at any desired sample size, and the van der Corput version is extensible in $n$. Additionally we show that certain discontinuous functions with infinite variation in the sense of Hardy and Krause can be integrated with a mean squared error of $O(n^{-1-1/d})$. It was previously known only that the rate was $o(n^{-1})$. Other space-filling curves, such as those due to Sierpinski and Peano, also attain these rates, while upper bounds for the Lebesgue curve are somewhat worse, as if the dimension were $\log_2(3)$ times as high.

研究の動機と目的

• 高次元単位立方体 $[0,1]^d$ 内での一様なサンプリング手法を開発すること。この手法はサンプル数 $n$ に対して拡張可能であり、$n = m^d$ というグリッドサイズの制約を回避する。
• 1次元の低 discrepancy 数列（例：van der Corput）を Hilbert 空間充填曲線にマッピングして得られる点の不均一性と平均二乗誤差（MSE）を分析すること。
• 連続性の程度が異なる関数（Lipschitz 継続的関数、無限変動を持つ不連続関数など）の積分に対する収束速度を確立すること。
• Hilbert と同様の曲線（Peano, Sierpinski, Lebesgue）と比較し、Hilbert 及び類縁曲線が最適または近似最適の収束速度を達成することを示すこと。

提案手法

• Hilbert の空間充填曲線 $H$ を用いて、$[0,1]$ 内の均一または低 discrepancy ポイント $x_i$ を $d$ 次元点 $P_i = H(x_i) \in [0,1]^d$ にマッピングする。
• 低 discrepancy 性とランダム化準モンテカルロ（RQMC）における効率的なスクラムブル化の利点から、2進数の van der Corput 数列を1次元点集合として採用する。
• van der Corput ポイントにランダムスクラムブルを適用して分散を低減し、最初の $k$ 桁のための $n-1$ 個の置換のみを保存することで、効率的な記憶と拡張性を実現する。
• 得られた $d$ 次元点集合のスターディスcreパンシーを分析し、$O(n^{-1/d})$ であることを証明する。これはグリッドベースのサンプリングと同等のレートを達成する。
• Hilbert マッピングによる Lipschitz 関数および不連続関数の積分の理論的 MSE 界を、曲線の Hölder 継続性特性を用いて確立する。
• Hilbert, Peano, Sierpinski, Lebesgue などの空間充填曲線の性能を比較し、Lebesgue 曲線は Hölder 指数が低いため、有効次元が $\log_2(3) \approx 1.58$ 倍に増加し、性能が劣ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hilbert 曲線によるサンプリングは、$n = m^d$ を必要としない条件下で、グリッドベースの数値積分ルールと同等の収束速度を達成できるか？
• RQ2 ランダム化 Hilbert サンプリングを用いた Lipschitz 継続的関数の積分における平均二乗誤差率は何か？
• RQ3 無限変動を持つが有限の Minkowski 容量を有する不連続関数（例：指示関数）は、この手法によりモンテカルロより優れた誤差率で積分可能か？
• RQ4 Hilbert, Peano, Sierpinski, Lebesgue などの異なる空間充填曲線は、不均一性と誤差率においてどのように比較できるか？
• RQ5 Hilbert を用いたサンプリング手法は拡張可能であり、次第に増加する次元においても低不均一性と低分散を維持できるか？

主な発見

• 1次元の低 discrepancy 数列を Hilbert 曲線にマッピングして得られる点のスターディスクリーパンシーは $O(n^{-1/d})$ であり、$d$ 次元におけるグリッドベースのサンプリングと同等のレートを達成する。
• Lipschitz 継続的被積分関数に対して、ランダム化 Hilbert サンプリング（スクラムブルド van der Corput 数列を用いて）の平均二乗誤差は $O(n^{-1-2/d})$ であり、単純なモンテカルロより優れており、グリッド上の系統的サンプリングと同等のレートを達成する。
• 無限変動を持つが有限の Minkowski 容量を有する特定の不連続関数に対しては、平均二乗誤差が $O(n^{-1-1/d})$ となり、以前の $o(n^{-1})$ のレートを上回る。
• 本手法は拡張可能である。van der Corput を用いた構成により、全セットを再計算することなく任意の $n$ で点を追加可能であり、固定グリッド手法とは対照的である。
• Peano や Sierpinski のような他の空間充填曲線も、同様の Hölder 継続性特性により同じ収束速度を達成するが、Lebesgue 曲線は性能が劣り、有効次元が $\log_2(3) \approx 1.58$ 倍に増加する。
• 数値実験により、滑らかで、くぼみのある、不連続なテスト関数について、次元 $d = 2, 3, 8, 16$ において観測された平均二乗誤差が理論的レートとよく一致することが確認された。