[論文レビュー] Extension theorem and representation formula in non-axially symmetric domains for slice regular functions

Xinyuan Dou, Guangbin Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、クaternionにおけるスライス正則関数の自然な位相としてスライス位相を導入し、それがユークリッド位相よりも細かく、クォータニオンのスライス構造に適していることを示している。一般のスライス領域において、拡張定理と表現公式を確立し、古典的な結果が軸対称領域にのみ成り立つわけではないことを示している。非軸対称な設定においても主要な性質を回復するため、パス・スライス関数を導入している。

ABSTRACT

Slice analysis is a generalization of the theory of holomorphic functions of one complex variable to quaternions. Among the new phenomena which appear in this context, there is the fact that the convergence domain of $f(q)=Σ_{n\in\mathbb{N}}(q-p)^{*n} a_n$, given by a $σ$-ball $Σ(p,r)$, is not open in $\mathbb{H}$ unless $p\in\mathbb{R}$. This motivates us to investigate, in this article, what is a natural topology for slice regular functions. It turns out that the natural topology is the so-called slice topology, which is different from the Euclidean topology and nicely adapts to the slice structure of quaternions. We extend the function theory of slice regular functions to any domains in the slice topology. Many fundamental results in the classical slice analysis for axially symmetric domains fail in our general setting. We can even construct a counterexample to show that a slice regular function in a domain cannot be extended to an axially symmetric domain. In order to provide positive results we need to consider so-called path-slice functions instead of slice functions. Along this line, we can establish an extension theorem and a representation formula in a slice-domain.

研究の動機と目的

• クォータニオン解析におけるスライス正則関数の自然な位相を特定し、軸対称領域が最大であるという仮定に挑戦すること。
• 非軸対称領域において古典的なスライス解析の結果（例えば表現公式）が失敗する理由を解明すること。
• スライス位相を用いて、軸対称領域を超えたスライス正則関数の一般化された関数論を構築すること。
• 標準的なスライス関数の代替として、パス・スライス関数を導入し、一般領域における主要な解析的性質を回復すること。
• スライス正則性の定義域を特徴づけ、スライス正則関数が全域的に拡張されたり表現されたりするための条件を確立すること。

提案手法

• すべてのスライス射影を連続にする最も粗い位相として、ℍにおけるスライス位相を定義する。これはユークリッド位相よりも厳密に細かい。
• ℍ = ⋃_{I∈𝕊} ℂ_I というスライスブック構造を用いて、スライス位相における基本的領域としてσ-球体Σ(p,r)を定義する。
• 非軸対称領域における拡張定理を得るために、スライス関数の一般化としてパス・スライス関数を導入する。
• 各複素平面ℂ_I上で複素解析の技法を用い、正則関数の拡張によるグローバル正則性を証明する。
• 同一性の原理とスライス連結性を用いて、重なり合う領域におけるスライス正則関数の一意性および拡張性を証明する。
• 背理法を用いて、σ-球体Σ(p,r)がスライス正則性の定義域であることを証明し、境界点への正則関数の拡張が、定義域がスライス正則でない限り矛盾を生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオン解析におけるスライス正則関数の自然な位相は何か？ そしてユークリッド位相とはどのように異なるか？
• RQ2 非軸対称領域において、スライス正則関数の古典的表現公式を一般化できるか？
• RQ3 なぜ標準的なスライス関数理論は非軸対称領域で失敗するのか？ どのような代替枠組みが解析的制御を回復するか？
• RQ4 非軸対称領域で定義されたスライス正則関数が、より大きな領域へ拡張可能となる条件は何か？
• RQ5 スライス正則性の定義域はどのように特徴づけられるか？ また、σ-球体やパス・スライス関数との関係は何か？

主な発見

• スライス位相はユークリッド位相よりも厳密に細かく、スライス正則関数の自然な枠組みを提供する。
• σ-球体Σ(p,r)はスライス正則性の定義域である。これは、Σ(p,r) ∩ ℂ_I 上の正則関数が、定義域がスライス正則でない限り、境界を越えて拡張できないことを意味する。
• 一般に、非軸対称領域では表現公式が成り立たない。軸対称領域はスライス正則関数に対して最大ではない。
• 非軸対称領域で定義されたスライス正則関数が、一般には軸対称領域に拡張できないことを示す反例を構成した。
• パス・スライス関数により、一般のスライス領域においても拡張定理および表現公式を回復でき、標準的なスライス関数の代替として機能する。
• 同一性の原理とスライス連結性により、スライス正則関数は重なり合うスライス成分における値によって一意に決定され、適切な条件下でグローバルな拡張が可能になる。