[論文レビュー] Extensions for supersingular representations of $GL_2(Q_p)$

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$p > 2$ のとき、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の超特異表現 $\pi$ と別の滑らかで完全に既約な表現 $\tau$ 間の非自明な拡張が、$\tau \cong \pi$ の場合にのみ存在することを証明し、$p \geq 5$ のとき $\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) = 5$ を計算している。この結果はコルメールの予想を裏付け、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の $\overline{\mathbb{F}}_p$-表現の滑らかで完全に既約な表現同士の拡張の分類を完成させる。

ABSTRACT

Let $p>2$ be a prime number. Let $G:=GL_2(Q_p)$ and $π$, $τ$ smooth irreducible representations of $G$ on $\bar{F}_p$-vector spaces with a central character. We show if $π$ is supersingular then $Ext^1_G(τ,π) eq 0$ implies $τ\cong π$. This answers affirmatively for $p>2$ a question of Colmez. We also determine $Ext^1_G(τ,π)$, when $π$ is the Steinberg representation. As a consequence of our results combined with those already in the literature one knows $Ext^1_G(τ,π)$ for all irreducible representations of $G$.

研究の動機と目的

• 中心的文字を持つ $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の滑らかで完全に既約な $\overline{\mathbb{F}}_p$-表現同士の間のすべての可能な非自明な拡張を特定すること。
• コルメールが提起した、超特異表現の $\operatorname{Ext}^1$ の構造に関する問題を解決すること。
• $p > 2$ のとき、特に $p \geq 5$ のとき、超特異 $\pi$ に対して $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ の次元を計算すること。
• ステインバーグ表現とすべての完全に既約表現を含む拡張の分類を拡張すること。

提案手法

• 中心的文字 $\zeta$ に関連するヘッケ代数 $\mathcal{H}$ を用いたスペクトル系列 $\operatorname{Ext}^i_{\mathcal{H}}(\mathcal{I}(\tau), \mathbb{R}^j\mathcal{I}(\pi)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{i+j}_{G,\zeta}(\tau, \pi)$ を用いる。
• イワハラ部分群 $I$ 及びその $p$-進根基 $I_1$ を通じたイwasawa-Tate法を適用し、問題を $I_1/Z_1$ 上のコホモロジーに還元する。
• Kisin および Ollivier の結果を活用し、$\dim H^1(I_1/Z_1, \pi)$ を評価し、$\mathbb{R}^1\mathcal{I}(\pi)$ の $\mathcal{H}$-加群構造を制御する。
• mod $p$ ラングランズ対応を用いて、$\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ をガロアコホモロジー $H^1(\mathrm{Ad}^0(\rho))$ に結びつける。ここで $\rho$ は関連するガロア表現である。
• 局所オイラー特性公式を適用し、$h^1(\mathrm{Ad}^0(\rho)) = 3$ および $h^1(\mathrm{Ad}(\rho)) = 5$ を計算し、$\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ の下界を得る。
• Berger-Breuil の構成が、$R^{\pi,\eta}[1/p] \twoheadrightarrow R^{\omega\eta}[1/p]$ の全射を誘導することを用い、特定のホッジ＝テイト条件を満たすすべてのクリスタリン点が $\pi$ の変形空間に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p > 2$ のとき、超特異 $\pi$ に対して $\operatorname{Ext}^1_G(\tau, \pi) \neq 0$ ならば $\tau \cong \pi$ であるか？
• RQ2 $p \geq 5$ のとき、超特異 $\pi$ に対して $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ の正確な次元は何か？
• RQ3 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の滑らかで完全に既約な $\overline{\mathbb{F}}_p$-表現同士の拡張群は、完全に分類可能か？
• RQ4 $H^1(I_1/Z_1, \pi)$ のコホモロジー群および $\mathbb{R}^1\mathcal{I}(\pi)$ の構造は、可能な拡張をどのように制約するか？

主な発見

• $p > 2$ のとき、$\pi$ が超特異で $\operatorname{Ext}^1_G(\tau, \pi) \neq 0$ ならば $\tau \cong \pi$ である。これはコルメールの予想を確認する。
• $p \geq 5$ のとき、$\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) = 5$ であり、$p = 3$ のときは最大で 6 に低下する。
• 拡張群 $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ は正確な列 $0 \to \operatorname{Ext}^1_{G,\zeta}(\pi, \pi) \to \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) \to \operatorname{Hom}(Z, \overline{\mathbb{F}}_p) \to 0$ に含まれており、中心的文字のねじれが非自明な拡張に寄与しないことを示している。
• ステインバーグ表現 $\pi$ に対しては、$\operatorname{Ext}^1_G(\tau, \pi) = 0$ となるが、$\tau \cong \pi$ の場合を除き、$p \geq 5$ のとき $\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) = 5$ である。
• $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ の次元は $h^1(\mathrm{Ad}^0(\rho)) = 3$ で下界が与えられ、$p \geq 5$ のとき実際の値は $5$ であり、ガロアコホモロジーの計算と一致する。
• Berger-Breuil のバナッハ空間 $B_x$ 及びその $\varpi_E$ を法とする還元により $\pi$ が得られ、クリスタリン点のザリスキの稠密性から $R^{\pi,\eta}[1/p] \twoheadrightarrow R^{\omega\eta}[1/p]$ が成り立ち、$\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) \geq 3$ であると結論づける。