[論文レビュー] Extensions of (super) Lie algebras

Alice Fialowski, Michael Penkava|ArXiv.org|Nov 8, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、コドイファーレンシャルとコチェーン上のgraded Lie代数構造を用いて、(超)リー代数の拡張のコhomological分類を提供し、より自然なモジュライ空間を導く、洗練された同値関係の概念を提示する。無限小変形の分類が特定のコホモロジー群によってなされ、主要な結果は $D_{\mu}$-および $D_{\bar{\delta}+\bar{\lambda}}$-コホモロジー類から導かれる。

ABSTRACT

In this paper, we give a purely cohomological interpretation of the extension problem for (super) Lie algebras; that is the problem of extending a Lie algebra by another Lie algebra. We then give a similar interpretation of infinitesimal deformations of extensions. In particular, we consider infinitesimal deformations of representations of a Lie algebra.

研究の動機と目的

• (超)リー代数の拡張問題にコホモロジー的解釈を提供し、古典的定義を越えること。
• 同値でない拡張のモジュライ空間がより自然に整列するように、拡張の一般化された同値関係を導入すること。
• コホモロジー不変量を用いて、拡張および表現の無限小変形を分類すること。
• 拡張の変形理論を $L_{\infty}$-代数とコドイファーレンシャル計算の広範な枠組みと統合すること。
• 低次元リー代数のモジュライ空間の階層構造が、拡張構成によって自然に生じることを示すこと。

提案手法

• リー代数構造を対称コアルゲブラのコドイファーレーション空間におけるコドイファーレンシャルとして表現する。
• リチャードソン＝ニエンフイズ括弧を備えた $\mathbb{Z}_2$-graded Lie代数構造をコチェーンに導入し、コホモロジーを定義する。
• 4つのコドイファーレーションを用いて拡張を定義し、そのうち2つを固定し、残り2つを変化可能とするが、コホモロジー的制約を課す。
• リー代数構造 $l \in C^2(V)$ に対して微分 $D = [l, \cdot]$ を適用し、$[l,l] = 0$ により $D^2 = 0$ が成り立つ。
• 拡張の変形を、$C^{2,0}$ における $D_{\mu}$-コホモロジー類 $[\mu_1]$ および $C^{1,1}$ における $D_{\bar{\delta}+\bar{\lambda}}$-コホモロジー類 $[\bar{\tau}]$ の分析により分類する。
• 変形の同値性を指数関数的ゲージ変換 $d_t' = \exp(t(\alpha + \gamma))$ を用いて定義し、分類をコホモロジー類に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (超)リー代数の拡張問題を、完全にコホモロジー的メソッドで特徴付ける方法は何か？
• RQ2 モジュライ空間の構造がすべてのリー代数構造のモジュライ空間に自然に埋め込まれるようにするための、拡張の正しい同値関係とは何か？
• RQ3 モジュール構造とコサイクル構造の両方が変化する場合、拡張の無限小変形はどのように分類されるか？
• RQ4 変形が存在するためのコホモロジー的条件は何か？
• RQ5 コドイファーレンシャル形式は、古典的コチェーン手法と比較して、拡張および変形の分類をどのように簡素化するか？

主な発見

• (超)リー代数の拡張は、$C^{2,0}$ における $D_{\mu}$-コホモロジー類 $[\mu_1]$ によって分類され、ここで $\mu_1$ は $D_{\mu}$-コサイクルである。
• モジュール構造および商代数上の代数構造の変形は、$C^{1,1}$ における $D_{\bar{\delta}+\bar{\lambda}}$-コホモロジー類 $[\bar{\tau}]$ によって支配される。
• 拡張の存在は、$H_{\mu}(\ker(\delta+\lambda))$ 内で $\overline{D_{\delta+\lambda}(\mu_1)}$ の消滅と同値である。
• 同値関係のもとで、拡張の変形はコホモロジー類 $[\bar{\mu}_1] \in H^2_{\mu}$ および $[\bar{\tau}] \in H^1_{\bar{\delta}+\bar{\lambda}}$ によって一意に定まる。
• 拡張に対する一般化された同値関係により、拡張のモジュライ空間は整合的で、リー代数構造全体のモジュライ空間に自然に埋め込まれる。
• 特に、graded コドイファーレーションおよびコチェーンの $\mathbb{Z}_2$-graded Lie代数の使用を含むコドイファーレンシャル形式は、拡張および変形を研究するにあたり、より洗練され、体系的な枠組みを提供する。