[論文レビュー] Extrapolation-based implicit-explicit general linear methods

Angelamaria Cardone, Z. Jackiewicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、剛性微分方程式の自然な分解（剛性および非剛性成分に分離）を前提として、高次の陰・陽的一般線形法（IMEX GLM）を構築する、外挿に基づく手法を提案する。高段階順序を持つGLMと外挿を活用することで、最適な安定性を達成し、次数低下を回避する。数値結果により、2次元テスト問題においてその精度と効率性が確認されている。

ABSTRACT

For many systems of differential equations modeling problems in science and engineering, there are natural splittings of the right hand side into two parts, one non-stiff or mildly stiff, and the other one stiff. For such systems implicit-explicit (IMEX) integration combines an explicit scheme for the non-stiff part with an implicit scheme for the stiff part. In a recent series of papers two of the authors (Sandu and Zhang) have developed IMEX GLMs, a family of implicit-explicit schemes based on general linear methods. It has been shown that, due to their high stage order, IMEX GLMs require no additional coupling order conditions, and are not marred by order reduction. This work develops a new extrapolation-based approach to construct practical IMEX GLM pairs of high order. We look for methods with large absolute stability region, assuming that the implicit part of the method is A- or L-stable. We provide examples of IMEX GLMs with optimal stability properties. Their application to a two dimensional test problem confirms the theoretical findings.

研究の動機と目的

• 剛性および非剛性成分を有する系に対する高次IMEX GLMペアの開発を目的とする。
• 従来のIMEX法で一般的に見られる次数低下問題を克服することを目的とする。
• 大きな絶対安定性領域を持つように手法を構築することで、最適な安定性特性を確保することを目的とする。
• 大規模な科学的・工学的シミュレーションに適した実用的で高段階順序のIMEX GLMを提供することを目的とする。
• 2次元移流拡散反応問題における理論的考察を数値実験で検証することを目的とする。

提案手法

• 高段階順序を持つGLMを出発点として、外挿に基づく構築技術を用いて高次のIMEX GLMペアを生成する。
• 非剛性部を陽的に、剛性部を陰的に処理する分割型GLMフレームワークを適用する。
• 外挿段階の整合性と精度を保証するため、$ p $ 次の補間公式を用いる。
• 得られたIMEX GLMに対して次数条件および段階順序条件を課し、$ p $ 次の精度と段階順序 $ q = p $ または $ p-1 $ を保証する。
• 線形安定性を解析し、剛性問題に対して頑健であるように、陰的成分において $ A $-安定性または $ L $-安定性を持つ手法を構築する。
• 2段階のプロセスにより手法を導出する：まず陽的外挿スキームを構築し、その後、共通の係数およびAbszissenを介して陰的GLM成分と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外挿を用いることで、最適な安定性特性を持つ高次のIMEX GLMペアを効果的に構築できるか？
• RQ2 提案手法は、従来のIMEX法で見られるように、剛性問題において次数低下を回避するか？
• RQ3 高段階順序がIMEX GLMの次数条件および安定性に与える影響は何か？
• RQ4 構築されたIMEX GLMの安定性領域は、既存のスキームと比較してどうなるか？
• RQ5 本手法は、現実的な2次元移流拡散反応問題においても高い精度と効率性を維持できるか？

主な発見

• 提案手法による外挿ベースIMEX GLMの構築は、最適な安定性特性を達成しており、大きな絶対安定性領域を示す。
• 高段階順序のおかげで、追加の結合次数条件を必要とせず、構築プロセスが簡素化される。
• 次数低下を回避する。これは、他のIMEX多段法で一般的に見られる問題であり、特に剛性問題において顕著である。
• 2次元テスト問題における数値実験により、理論的な次数の精度とスケームの効率性が確認された。
• 理論的分析および数値結果から、剛性成分に対しても高次精度と安定性が維持されることを示した。
• 本手法は、PDEの空間半離散化から生じる大規模な系に対し、実用的かつ効果的である。