[論文レビュー] Extremal eigenvalues of critical Erd\H{o}s-R\'enyi graphs

Johannes Alt, Raphaël Ducatez+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$d \asymp \log N$ の臨界 Erdős-Rényi グラフにおいて、次数が $2d$ 以上の頂点と、正規化隣接行列 $A/\sqrt{d}$ の半円バルク $[-2,2]$ 外の非自明固有値の間の一対一対応を確立する。臨界閾値 $d_* = \frac{1}{\log 4 - 1}\log N \approx 2.59\log N$ において extremal 固有値がバルク外に出現するようになり、$d < d_*$ に対しては高確率での剛性バインディングを定量的に得るとともに、$d > d_*$ の場合にはそのような固有値が存在しないことを証明する。

ABSTRACT

We complete the analysis of the extremal eigenvalues of the the adjacency matrix $A$ of the Erd\\H{o}s-R\\'enyi graph $G(N,d/N)$ in the critical regime $d \\asymp \\log N$ of the transition uncovered in [arXiv:1704.02953,arXiv:1704.02945], where the regimes $d \\gg \\log N$ and $d \\ll \\log N$ were studied. We establish a one-to-one correspondence between vertices of degree at least $2d$ and nontrivial (excluding the trivial top eigenvalue) eigenvalues of $A / \\sqrt{d}$ outside of the asymptotic bulk $[-2,2]$. This correspondence implies that the transition characterized by the appearance of the eigenvalues outside of the asymptotic bulk takes place at the critical value $d = d_* = \\frac{1}{\\log 4 - 1} \\log N$. For $d &lt; d_*$ we obtain rigidity bounds on the locations of all eigenvalues outside the interval $[-2,2]$, and for $d &gt; d_*$ we show that no such eigenvalues exist. All of our estimates are quantitative with polynomial error probabilities. Our proof is based on a tridiagonal representation of the adjacency matrix and on a detailed analysis of the geometry of the neighbourhood of the large degree vertices. An important ingredient in our estimates is a matrix inequality obtained via the associated nonbacktracking matrix and an Ihara-Bass formula [arXiv:1704.02945]. Our argument also applies to sparse Wigner matrices, defined as the Hadamard product of $A$ and a Wigner matrix, in which case the role of the degrees is replaced by the squares of the $\\ell^2$-norms of the rows.

研究の動機と目的

• Erdős-Rényi グラフ $G(N,d/N)$ の隣接行列 $A$ の extremal 固有値の特徴付けを、$d \asymp \log N$ の臨界領域で完成させること。この領域ではバルク固有値と外れ値固有値の遷移が発生する。
• 次数 $D_x \geq 2d$ の頂点と、$A/\sqrt{d}$ の $[-2,2]$ 外の非自明固有値との間の正確な一対一対応を確立すること。
• $d < d_*$ の場合に、$[-2,2]$ 外の固有値の位置に関する定量的高確率剛性バインディングを導出し、$d > d_*$ の場合にはそのような固有値が存在しないことを証明すること。
• 頂点次数を行列の行 $\ell^2$-ノルムに置き換えたスパース Wigner 行列への分析を拡張する。

提案手法

• 高次度頂点の周辺のスペクトル特性を解析するため、隣接行列 $A$ の三重対角表現を構築する。
• 高次度頂点の近傍の幾何構造を詳細に分析し、その構造と extremal 固有値の出現を関連付ける。
• 非バックトラッキング行列と Ihara-Bass 公式から導かれる行列不等式を用いて、スペクトルノルムと固有値の位置を制御する。
• 度分布のポisson近似 $\mathbb{P}(D_x = k) \approx \exp(-f_d(k/d))$ を用いて、固有値分布と度列を関連付ける。
• 頂点の度数が $\geq t$ であるものの個数を推定するための数え上げ関数 $\mathcal{N}_t = \sum_x \mathbf{1}_{D_x \geq t}$ を用い、一次モーメントおよび二次モーメント法を適用する。
• $f_d(\alpha) = \alpha \log \alpha - \alpha + 1$ を用いて度数の尾確率をモデル化し、その逆関数を用いて $\beta_l(d)$ を $l$ 番目の最大正規化度数の典型的値として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界領域 $d \asymp \log N$ において、正規化隣接行列 $A/\sqrt{d}$ の extremal 固有値が半円バルク $[-2,2]$ 外に出現し始める正確な閾値 $d_*$ は何か？
• RQ2 $[-2,2]$ 外の固有値の位置は、グラフ内各頂点の度数とどのように関係しているか？
• RQ3 $d < d_*$ の場合に、$[-2,2]$ 外の固有値の位置に関する定量的高確率バインディングはどのように確立できるか？
• RQ4 extremal 固有値行動の遷移は、接続性閾値 $d = \log N$ と一致するのか、それとも別の臨界値で発生するのか？
• RQ5 本手法は、次数が行 $\ell^2$-ノルムに置き換えられるスパース Wigner 行列へと拡張可能か？

主な発見

• バルク $[-2,2]$ 外に extremal 固有値が出現し始める臨界閾値は $d_* = \frac{1}{\log 4 - 1}\log N \approx 2.59\log N$ であり、接続性閾値 $d = \log N$ とは異なる。
• $d < d_*$ の場合、次数 $D_x \geq 2d$ の頂点と、$A/\sqrt{d}$ の $[-2,2]$ 外の非自明固有値の間に一対一対応が成立し、固有値は $\pm \Lambda(D_x/d)$ の近くに位置する。ここで $\Lambda(t) = \frac{t}{\sqrt{t-1}}$ である。
• $d < d_*$ の場合、$l$ 番目の最大正規化度数 $\alpha_{\sigma(l)}$ は、高確率で $|\alpha_{\sigma(l)} - \beta_l(d)| \leq \frac{1 \vee (\xi / \log \beta_l(d))}{d}$ を満たす。ここで $\beta_l(d)$ は $f_d(\beta) = \log(N/l)$ を満たす。
• $d > d_*$ の場合、最大正規化度数は高確率で $\alpha_{\sigma(1)} \leq 2 + \frac{\xi}{d}$ を満たし、$[-2,2]$ 外に固有値が存在しないことを示唆する。
• 本手法は、行の $\ell^2$-ノルムが頂点次数の役割を果たすスパース Wigner 行列 $X = W \circ A$ に対しても適用可能であり、同じ臨界閾値 $d_*$ が遷移を制御する。
• 本分析では $N$ の多項式オーダーの誤差確率が得られ、すべてのバインディングは任意の固定された $\nu > 0$ に対して確率 $1 - N^{-\nu}$ 以上で成立する。