[論文レビュー] Extremal functions for singular Trudinger-Moser inequalities in the entire Euclidean space

LI Xiao-meng, Yunyan Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、N ≥ 2 における全Euclid空間 ℝ^N において、原点にHardy型特異項 |x|^{−Nβ} と臨界指数を伴う特異Trudinger-Moser不等式に対して、極値関数の存在を確立する。0 < β < 1 の条件下で、吹き上がり解析と変分法を用いて、臨界および亜臨界の場合に、不等式における上界が、W^{1,N}(ℝ^N) 内の非負で回転対称的かつC¹関数によって達成されることを証明する。これは、特異的設定における長年の存在問題を解決するものである。

ABSTRACT

In a previous work (Int. Math. Res. Notices 13 (2010) 2394-2426), Adimurthi-Yang proved a singular Trudinger-Moser inequality in the entire Euclidean space $\mathbb{R}^N$ $(N\geq 2)$. Precisely, if $0\leq β&lt;1$ and $00$, $$\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N),\,\int_{\mathbb{R}^N}(| abla u|^N+τ|u|^N)dx\leq 1}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{|x|^{Nβ}}\left(e^{α_Nγ|u|^{\frac{N}{N-1}}}-\sum_{k=0}^{N-2}\frac{α_N^kγ^k|u|^{\frac{kN}{N-1}}} {k!} ight)dx1-β$, all integrals are still finite but the supremum is infinity. In this paper, we concern extremal functions for these singular inequalities. The regular case $β=0$ has been considered by Li-Ruf (Indiana Univ. Math. J. 57 (2008) 451-480) and Ishiwata (Math. Ann. 351 (2011) 781-804). We shall investigate the singular case $00$, $0

研究の動機と目的

• 原点にHardy型特異項を伴う全Euclid空間 ℝ^N における特異Trudinger-Moser不等式に対して、極値関数の存在を確立すること。
• 従来、β = 0（正則ケース）で確立された極値関数に関する既知の結果を、0 < β < 1 の特異ケースに拡張すること。
• 0 < β < 1 および γ ≤ 1 − β の場合に、特異Trudinger-Moser不等式における鋭い上界が達成されるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 全空間における特異Trudinger-Moser不等式の亜臨界および臨界ケースの完全な存在理論を構築すること。
• 特異性と ℝ^N の非コンパクト性に起因するコンパクト性の欠如に対処するため、洗練された吹き上がり解析を発展させ、応用すること。

提案手法

• 特異Trudinger-Moser不等式における最大化列の集中・コンパクト性挙動を調べるため、吹き上がり解析を用いる。
• 原点を中心に集中する吹き上がりプロファイルを有するテスト関数 φ_ε を構築し、対数的およびべき乗的特異性を含めることで、不等式の鋭さを検証する。
• 変数変換と部分積分を用いて、特に原点付近のアニュラス領域における指数関数項の重み付き積分を推定する。
• 不等式における亜臨界切断を扱うために、指数関数のテイラー展開 ζ(N,s) = e^s − ∑_{k=0}^{N−2} s^k/k! を用いる。
• テスト列の L^N ノルムおよび勾配ノルムに対する一様な有界性を確立し、W^{1,N}(ℝ^N) ノルムにおける有界性を保証する。
• 集中パラメータ c_ε → ∞ を仮定した場合に吹き上がり解析を用いて矛盾を導出し、c_ε が有界でなければならないことを証明する。これにより、最大化関数の存在が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み |x|^{−Nβ} (0 < β < 1) を伴う ℝ^N 上の特異Trudinger-Moser不等式において、上界が最大化関数を達成するか。
• RQ2 特異Trudinger-Moser不等式の臨界ケース γ = 1 − β において、極値関数を構成可能か。
• RQ3 |x|^{−Nβ} 特異性の存在が、最大化列の集中・コンパクト性構造にどのように影響するか。
• RQ4 正則ケース（β = 0）で用いられた吹き上がり解析技法が、0 < β < 1 の特異ケースに拡張可能か、極値関数の存在を証明するためのものか。
• RQ5 極値列の正確な漸近的挙動は何か。また、それは鋭い定数 α_N(1−β) とどのように関係するか。

主な発見

• すべての τ > 0、0 < β < 1、0 < γ ≤ 1 − β に対して、W^{1,N}(ℝ^N) 内で特異Trudinger-Moser不等式の極値関数が存在する。
• 亜臨界ケース（γ = 1 − β − ε、ε > 0 が十分小さい）では、上界が、W^{1,N}(ℝ^N) ∩ C⁰(ℝ^N) 内の非負で回転対称的かつC¹関数によって達成される。
• 臨界ケース（γ = 1 − β）でも上界は達成され、集中パラメータが発散する場合の吹き上がり解析における背理法により極値関数の存在が示される。
• 著者らは、吹き上がり列における集中パラメータ c_ε が有界でなければならないことを証明し、無限大への集中が排除され、コンパクト性が保証され、その結果、最大化関数の存在が導かれる。
• 指数関数項の積分に対する漸近的下界が ∼ (ω_{N−1}/(N(1−β))) e^{∑_{k=1}^{N−1} 1/k + α_N(1−β)A_0} であることが示され、これは ε に依存しない正の値である。
• 証明により、臨界上界が有限かつ達成可能であることが示され、特異的設定における不等式の鋭さが確認され、従来の β = 0 の結果が 0 < β < 1 に拡張される。