[論文レビュー] Extremal Restraints for Graph Colourings

Jason I. Brown, Aysel Erey+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全グラフおよび木において、各頂点に禁止色を割り当てる標準的単純制約（各頂点ごとに1つの禁止色）の下で、正しい頂点彩色の数を最大化または最小化する極値の制約を調査する。完全グラフおよび木において、制約が交互な彩色（alternating colouring）を形成する場合にのみ、制約彩色多項式が最大になることを証明する。この結果は、一般のグラフにおいて極値の制約が常に最小彩色に対応するとは限らないことを示しており、ある仮説の一般化を疑問視するものである。

ABSTRACT

A {\em restraint} on a (finite undirected) graph $G = (V,E)$ is a function $r$ on $V$ such that $r(v)$ is a finite subset of ${\mathbb N}$; a proper vertex colouring $c$ of $G$ is {\em permitted} by $r$ if $c(v) ot\in r(v)$ for all vertices $v$ of $G$ (we think of $r(v)$ as the set of colours {\em forbidden} at $v$). Given a large number of colors, for restraints $r$ with exactly one colour forbidden at each vertex the smallest number of colorings is permitted when $r$ is a constant function, but the problem of what restraints permit the largest number of colourings is more difficult. We determine such extremal restraints for complete graphs and trees.

研究の動機と目的

• 各頂点に正確に1つの禁止色を割り当てる標準的単純制約の中で、グラフにおける正しいx彩色の数を最大化するものを探す。
• 完全グラフおよび木における制約彩色多項式の極値をとる制約の構造を同定する。
• 極値の制約が常に最小彩色に対応するかどうかを、特に二部グラフにおいて調査する。
• 固定された制約の下で、制約彩色多項式が最大または最小値に達する条件を調べる。
• 対称性および色の分布が、制約付き条件下で有効な彩色の数を最大化する役割を検討する。

提案手法

• 各頂点vがその禁止集合r(v)を避ける正しいx彩色の数として定義される制約彩色多項式π_r(G,x)を使用する。
• 特に葉を削除して得られる部分グラフを分析することで、頂点数に関する帰納法を適用し、木構造を解析する。
• 葉の隣接頂点の色が葉の禁止色と一致するかどうかに基づくケース解析を実施する。
• 頂点削除後のグラフの連結成分に対して補助的制約r_iを導入し、色の利用可能性をモデル化し、有効な彩色の数を数える。
• 削除・縮約に類似した推論と多項式比較を用いて、交互な制約が厳密に大きな制約彩色多項式をもたらすことを示す。
• 多項式の差の式を分析し、xが十分に大きい場合に正であることを示すことにより、異なる制約の下での制約彩色多項式を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全グラフおよび木において、xが十分に大きい場合に、どの標準的単純制約がx彩色の数を最大にするか？
• RQ2 制約彩色多項式を最大にする制約は、常にグラフの最小彩色であるか？
• RQ3 非最小彩色の制約が最小彩色の制約よりも有効な彩色を多く生成する条件は何か？
• RQ4 特定のグラフクラスにおいて、標準的単純制約の下での制約彩色多項式の最大値を組合せ論的に特徴づけられるか？
• RQ5 ほとんどすべてのグラフにおいて、極値の制約が最小彩色に対応するという主張は正しいか？

主な発見

• 完全グラフでは、制約彩色多項式はすべての頂点が同じ色を禁止する定数制約のときに最大になるが、これは木における交互パターンとは矛盾する。
• 木では、制約彩色多項式は、制約が交互な彩色（すなわち、任意の経路上で色が交互に変わる）である場合に厳密に最大になる。
• 帰納法とケース解析により、木における交互な制約は、非交互な制約よりも厳密に多くのx彩色をもたらすことが証明されている。
• 木における制約彩色多項式の最大値は、交互な制約によってのみ達成され、かつxが十分に大きい場合に他のすべての値よりも正の量だけ大きい。
• （例：6次以下のグラフ）制約彩色多項式を最大にする制約が最小彩色でないようなグラフが存在し、これは一般化の可能性を否定する。
• すべての二部グラフにおいて、交互な制約が制約彩色多項式を最大にするという予想が提示され、6次までに検証されている。