[論文レビュー] Extremal trigonometric polynomials and the problem of optimal stabilization of chaos

Dmitriy Dmitrishin, Anna Khamitova|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Chaos control and synchronization参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正規化制約下での共役三角多項式に対する極値問題を解き、正弦多項式が消えるときの余弦多項式の最小値が $-\tan^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$ であることを証明し、非負のフェージェール多項式によって一意に達成されることを示している。この結果により、最小限の事前履歴深さを持つ遅延フィードバック制御を用いて非線形離散系におけるカオスの最適安定化が可能になる。

ABSTRACT

The paper contains an example of harmonic analysis applications to the problem of chaos stabilization by the DFC methods

研究の動機と目的

• 共役三角多項式 $C(t)$ と $S(t)$ に対する極値問題を、制約 $\sum a_j = 1$ の下で解くこと。
• 非線形離散系の制御理論に現れる多項式族の最大ロバスト安定性区間を特定すること。
• 極値結果を応用して、不安定な均衡を安定化するための最適遅延フィードバック制御を設計すること。
• 負の乗数をもつ系 $(-\mu^*, -1)$ に対して安定性を保証しつつ、事前履歴深さを最小限に抑えること。

提案手法

• 制約 $S(t) = 0$ と $\sum a_j = 1$ の下で $C(t)$ の最小化問題を定式化し、単位円を用いた幾何的解釈を導く。
• 複素解析と位相原理を用いて、$S(t)$ の零点上での $C(t)$ の下界が負であることを証明する。
• 恒等式 $\sin jt = (\cos t - \cos t_1) \cdot \text{低次の正弦多項式}$ を用いた三角多項式の再帰的分解により、次数の低減を可能にする。
• 特徴方程式の安定性を単位円上での三角和の実部に関連付け、極値値と安定性マージンを結びつける。
• 制御問題をパrameter化された多項式族に変換し、極値結果を用いて最大安定性区間を導出する。
• 極値フェージェール多項式を用いて最適制御係数を導出し、事前履歴深さを最小化するとともに制御利得の大きさを有界に保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約 $\sum a_j = 1$ の下で、$S(t) = 0$ を満たすすべての $t$ に対する $C(t)$ の下界は何か？
• RQ2 正規化係数をもつ多項式族 $f(\lambda) = \lambda^n + k\sum a_j \lambda^{n-j}$ のロバスト安定性区間の最大長さは何か？
• RQ3 非線形離散系における不安定な均衡を、最小限の事前履歴深さで安定化するための最適遅延フィードバック制御をどのように設計できるか？
• RQ4 乗数 $\mu \in (-\mu^*, -1)$ をもつ系を安定化するための最小事前履歴深さ $N^*$ は何か？
• RQ5 制御効果が有界であるように保証する最適制御利得 $\varepsilon_j$ は何か？

主な発見

• 制約 $\sum a_j = 1$ の下で、$\min_t \{ C(t) : S(t) = 0, \sum a_j = 1 \}$ の極値は $-\tan^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$ であり、非負のフェージェール多項式によって一意に達成される。
• 最大安定性区間長は $\Phi = \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)}$ であり、$k_1 = 1$ かつ $k_2 = \cot^2\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)$ である。
• 乗数 $\mu \in (-\mu^*, -1)$ をもつ非線形離散系に対して、最小事前履歴深さは $N^* = \left[\frac{\pi}{2 \cdot \operatorname{arccot} \sqrt{\mu^*}}\right] - 1$ であり、これは最適である。
• 最適制御係数は極値フェージェール多項式から導出され、$\varepsilon_1^0 = \alpha_1^0 - 1 \in (-1, 0)$ かつ $j \geq 2$ に対して $\varepsilon_j^0 = \alpha_j^0 \in (0,1)$ であり、制御利得が有界であることを保証する。
• 全制御利得の大きさ $\sum |\varepsilon_j| < 2$ であり、$\mu^*$ や $N$ に依存しないため、制御効果が有界であることを示している。
• ロジスティック写像（$\mu \in [-2, -1)$）に対して、最適制御は $N^* = 1$ を用い、利得は $\varepsilon_1^0 = -\frac{1}{3}, \varepsilon_2^0 = \frac{1}{3}$ であり、最小限の事前履歴でシステムを安定化する。