[論文レビュー] Extreme Events for Fractional Brownian Motion with Drift: Theory and Numerical Validation

Maxence Arutkin, Benjamin Walter+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、標準ブラウン運動のまわりのε = H − 1/2における展開を用いて、線形および非線形のドラフトを伴う分数カリエーション運動（fBm）の最初の通過時刻、最大分布、吸収確率について摂動理論を開発する。一次補正の解析的導出と、適応的二分法アルゴリズムを用いた高精度数値シミュレーションによる検証を行い、良好な一致を得ており、スケーリングに基づく推定を上回る精度を達成している。

ABSTRACT

We study the first-passage time, the distribution of the maximum, and the absorption probability of fractional Brownian motion of Hurst parameter $H$ with both a linear and a non-linear drift. The latter appears naturally when applying non-linear variable transformations. Via a perturbative expansion in $\epsilon = H-1/2$, we give the first-order corrections to the classical result for Brownian motion analytically. Using a recently introduced adaptive bisection algorithm, which is much more efficient than the standard Davies-Harte algorithm, we test our predictions for the first-passage time on grids of effective sizes up to $N_{ m eff}=2^{28}\approx 2.7 imes 10^{8}$ points. The agreement between theory and simulations is excellent, and by far exceeds in precision what can be obtained by scaling alone.

研究の動機と目的

• 分数カリエーション運動（fBm）にドラフトを伴う最初の通過時刻および極値統計に関する解析的結果の不足に対処すること。
• 標準ブラウン運動（H = 1/2）の既知の結果を、一般のHurst指数H ≠ 1/2にε = H − 1/2における摂動展開を用いて拡張すること。
• コール＝ホプフ変換などの非線形変換に由来する非線形ドラフト項を含めること。
• 効率的な適応的二分法アルゴリズムを用いた高精度数値シミュレーションにより、理論的予測を検証すること。

提案手法

• 標準ブラウン運動のまわりでε = H − 1/2における摂動展開を用い、極値統計の一次補正を計算する。
• 経路積分形式と図式展開を用いて、最初の通過時刻分布および吸収確率への補正を体系的に計算する。
• Hurst指数Hおよびドラフトパラメータに依存する関数を記述するスケーリング関数および補助関数を導出する。
• 最初の通過時刻のグリッド上での高精度モンテカルロサンプルに、効率的かつ高精度な適応的二分法アルゴリズムを用いる（Neff ≈ 2.7 × 10^8点まで）。
• 高解像度のシミュレーションを用いて理論的予測を検証し、スケーリングのみに依存する手法を上回る精度を達成する。
• yt = e^{zt}などの変換を用いて非線形ドラフトを組み込む。これにより、変換された過程において有効な非線形ドラフト項が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H ≠ 1/2の場合における、線形および非線形ドラフトを伴うfBmの最初の通過時刻分布に対する一次補正は何か。標準ブラウン運動のケースを超えてどのように異なるか。
• RQ2 線形および非線形ドラフトは、fBmの極値統計（最大値の分布および吸収確率を含む）にどのように影響を与えるか。
• RQ3 ε = H − 1/2における摂動展開は、fBmにドラフトを伴う場合の挙動を正確に予測できるか。数値シミュレーションと比較するとどうなるか。
• RQ4 Hurst指数Hは、特にH < 1/2およびH > 1/2の場合に、ドラフト付きfBmの極値統計をどのように変化させるか。
• RQ5 適応的二分法アルゴリズムは、デイヴィス＝ハート法などの標準的手法と比較して、最初の通過時刻シミュレーションの精度と効率をどのように向上させるか。

主な発見

• ε = H − 1/2における摂動展開は、線形および非線形ドラフトを伴うfBmの最初の通過時刻分布および吸収確率に対する一次補正を効果的に計算できる。
• 理論的予測と数値シミュレーションの間には、極めて良好な一致が得られ、高解像度（Neff ≈ 2.7 × 10^8点）でも同様の結果が得られた。
• yt = e^{zt}などの変換を用いることで非線形ドラフトを組み込むことができ、これにより有効な非線形ドラフト項がモデルに解析的に組み込まれた。
• 適応的二分法アルゴリズムにより、スケーリングに基づく推定を上回る著しい精度のシミュレーションが可能となり、理論的枠組みの妥当性が検証された。
• 導出されたスケーリング関数および補助関数（例：式91, 94, 101, 105）は、H、ドラフトパラメータ、スケーリング変数を用いて、最初の通過時刻分布を完全に特徴づける。
• 本研究は、極値統計がH < 1/2の場合に顕著にブラウン運動の予測から逸脱することを確認した。また、摂動理論がこれらの逸脱を正確に捉えていることも示した。