[論文レビュー] Extremes of Chi-square Processes with Trend

Peng Liu, Lanpeng Ji|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式トレンドを有するカイ二乗過程の上限について、自己相似ガウス過程によって駆動される正確な尾部漸近を導出する。相関構造に局所定常性の条件を課すと、ピケンズおよびピトゥルバール定数を含む精密な漸近的表現が得られ、リスク理論やキューイングシステムにおける ruin 確率および初到達時間の結果が拡張される。

ABSTRACT

This paper studies the supremum of a chi-square process with trend over a threshold-dependent-time horizon. Under the assumption that the chi-square process is generated from a centered self-similar Gaussian process and the trend function is modeled by a polynomial function, we obtain the exact tail asymptotics of the supremum of the chi-square process with trend. These results are of interest in applications in engineering, insurance, queueing and statistics, etc. Some possible extensions of our results are also discussed.

研究の動機と目的

• 時間領域が閾値に依存する場合の、決定的多項式トレンドを有するカイ二乗過程の上限の尾部挙動を分析すること。
• 保険や工学的応用において特に関連性の高い、非定数トレンド関数を組み込んだ既存のカイ二乗過程の結果を拡張すること。
• 時間依存のセーフティ領域または保険料関数を有するモデルにおける ruin 確率および初到達時間の正確な漸近的表現を導出すること。
• 非定常ガウス過程に関する先行研究を、非一様なスケーリング係数およびより一般な相関構造を許容する形で一般化すること。
• カイ二乗過程にトレンドを含む極限検定統計量の理論的基盤を提供すること、これは統計的推論において関連性がある。

提案手法

• 指数 $ H \in (0,1) $ を持つ中心化された自己相似ガウス過程の独立同一コピーの二乗和としてカイ二乗過程をモデル化し、$ \mathrm{Var}(Y(t)) = t^{2H} $ を満たす。
• 保険の純資産やセーフティ領域における時間変動するドリフトを表すために、$ c, \beta > 0 $ を満たす多項式トレンド関数 $ ct^\beta $ を導入する。
• 最大点 $ t_0 $ の近傍における基礎ガウス過程の相関構造に局所定常性の仮定を導入し、$ s,t \to t_0 $ のとき $ \mathrm{Corr}(Y(s), Y(t)) = 1 - d|t-s|^\nu(1+o(1)) $ を要請する。
• ガウスランダムフィールドに対するフェルヌーク型不等式を用いて尾部確率を制御し、指数モーメントの境界を確立する。
• 測度変換技術と最大点近傍での漸近的解析を用いて、尾部確率の主要項の挙動を導出する。
• ピケンズおよびピトゥルバール定数を用いた漸近的表現を導出し、これらはステーショナリィ増分を有するガウス過程の上限分布の解析において自然に現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閾値依存時間領域における多項式トレンド付きカイ二乗過程の上限の正確な尾部漸近は何か？
• RQ2 自己相似ガウス過程によって駆動されるリスクモデルにおいて、決定的トレンドの存在が ruin 確率に与える影響は何か？
• RQ3 トレンド付きカイ二乗過程の初到達時間の漸近的挙動は何か？ そして条件付きでどのように近似可能か？
• RQ4 基礎となるガウス過程が非同一分布である場合や、より一般な相関構造を有する場合に、結果を拡張可能か？
• RQ5 局所定常性の下で、ピケンズおよびピトゥルバール定数は、トレンド付きカイ二乗過程の漸近的解析においてどのように現れるか？

主な発見

• 無限時間領域（$ T = \infty $）の場合、トレンド付きカイ二乗過程の上限の尾部漸近は、$ u \to \infty $ のとき $ \psi_\infty(u) \sim C \cdot u^{-\alpha} \cdot e^{-u/2} $ の形をとることが示された。ここで $ C $ はピケンズおよびピトゥルバール定数を含む。
• 時間領域が閾値に依存する場合（$ T = T_u $）の漸近的挙動は、多項式トレンド指数 $ \beta $ を含む修正されたスケーリングを示し、異なる正規化および極限定数をもたらす。
• 式 (2) で定義される条件付き初到達時間の漸近的近似が得られ、生存確率はトレンドおよび相関構造によって決定されるレートで指数的に減少する。
• 補題 2.2 で得られたフェルヌーク型不等式は、ガウスランダムフィールドの尾部挙動に対する重要な境界を提供し、時間領域における上限の制御を可能にする。
• $ Y_i $ が独立ではあるが同一分布でない場合にも結果が拡張可能であり、相関構造が一般化された局所定常性条件を満たす場合に適用可能である。
• 相関構造の摂動に対しても、最大点近傍での局所的挙動が仮定されたべき乗則減衰と一致する限り、漸近的表現は安定性を示す。