[論文レビュー] F-index of graphs based on four operations related to the lexicographic product

Nilanjan De|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第一のグラフの四つの導出グラフ（S、R、Q、T）に基づく辞書的積に基づく四つの新しいグラフ演算のFインデックス（頂点次数の立方和）の明示的公式を導出する。得られたグラフ $ G_1[G_2]_F $ のFインデックスは、$ G_1 $ と $ G_2 $ の基本的不変量、すなわち第一および第二のZagrebインデックス、Fインデックス、ハイパーリンデックス、再定義Zagrebインデックスを用いて表される。

ABSTRACT

The forgotten topological index or F-index of a graph is defined as the sum of cubes of the degree of all the vertices of the graph. In this paper we study the F-index of four operations related to the lexicographic product on graphs which were introduced by Sarala et al. [D. Sarala, H. Deng, S.K. Ayyaswamya and S. Balachandrana, The Zagreb indices of graphs based on four new operations related to the lexicographic product, extit{Applied Mathematics and Computation}, 309 (2017) 156--169.].

研究の動機と目的

• 辞書的積に基づく新たに定義されたグラフ演算のFインデックスを計算することによって、トポロジカルインデックスの研究を拡張すること。
• S、R、Q、Tの四つの導出グラフが辞書的積演算に与える構造的影響を、Fインデックスの観点から調査すること。
• $ G_1[G_2]_F $ のFインデックスの閉形式表現を、$ G_1 $ と $ G_2 $ の標準的グラフ不変量を用いて確立すること。
• ZagrebインデックスおよびFインデックスに関する先行研究を、辞書的積を含むより広範なクラスのグラフ演算に一般化すること。
• 複雑なグラフ構成におけるFインデックスを用いた分子グラフの物理的・化学的性質の予測の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ベースグラフGから頂点および辺の部分分割、三角形追加、全グラフ構築を用いて、四つの導出グラフ（S、R、Q、T）を定義する。
• 導出グラフと $ G_2 $ の辞書的積として四つの新しいグラフ演算 $ G_1[G_2]_F $ を定義し、構造的一致性を保つために辺の削除を実施する。
• 次数に基づく表現を用いて、$ F(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^3 $ としてFインデックスを計算し、辺ごとの寄与を活用する。
• 元の $ G_1 $ の頂点、$ G_1 $ の辺頂点、およびそれらが $ G_2 $ と相互作用する際の異なる頂点タイプからのFインデックスへの寄与を導出する。
• 既知のZagrebインデックス、ハイパーリンデックス、再定義Zagrebインデックスの恒等式を適用し、$ M_1(G_1), M_2(G_1), F(G_1), HM(G_1), \text{Re}ZM(G_1) $ および $ F(G_2) $ を用いてFインデックスを表現する。
• 得られたグラフ内のすべての辺タイプからの寄与を統合し、各演算（S、R、Q、T）について $ F(G_1[G_2]_F) $ の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sが頂点部分グラフを表すとき、グラフ演算 $ G_1[G_2]_S $ のFインデックスは何か？
• RQ2 $ G_1[G_2]_R $ 演算における三角形ベースの辺拡張の下で、Fインデックスはどのように振る舞うか？
• RQ3 Qグラフ（辺-頂点隣接グラフ）に基づく $ G_1[G_2]_Q $ のFインデックスは何か？
• RQ4 全グラフ $ G_1 $ から導出される $ G_1[G_2]_T $ のFインデックスは何か？
• RQ5 これらの新しい演算のFインデックスは、$ G_1 $ と $ G_2 $ の標準的不変量を用いて表現可能か？もしそうならば、正確な公式は何か？

主な発見

• グラフ演算 $ G_1[G_2]_S $ のFインデックスは、$ 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + n_1 F(G_2) + 8n_2 m_1 M_1(G_2) $ で与えられ、ここで $ n_i = |V(G_i)| $、$ m_i = |E(G_i)| $ である。
• グラフ演算 $ G_1[G_2]_R $ のFインデックスは $ 4n_2^4 F(G_1) + 2n_2 m_1 M_1(G_2) + 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + 8n_2^4 HM(G_1) $ であり、ハイパーリンデックスを含む。
• グラフ演算 $ G_1[G_2]_Q $ のFインデックスは $ 4n_2^4 F(G_1) + 2n_2 m_1 M_1(G_2) + 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + 2n_2^4 HM(G_1) + n_2^4 (\xi_4(G_1) - 2F(G_1) - 4M_2(G_1) + 3\text{Re}ZM(G_1)) $ であり、高階不変量に依存することが示される。
• グラフ演算 $ G_1[G_2]_T $ のFインデックスは $ 4n_2^4 F(G_1) + 2n_2 m_1 M_1(G_2) + 8n_2^2 m_2 M_1(G_1) + 2n_2^4 HM(G_1) + n_2^4 (\xi_4(G_1) - 2F(G_1) - 4M_2(G_1) + 3\text{Re}ZM(G_1)) $ であり、Qグラフに基づくものと形式が同一だが、全グラフから導出される。
• パスグラフ $ P_n $ および $ P_m $ について、明示的公式が導出される：$ F(P_n[P_m]_S) = 16n m^4 - 22m^4 + 24n m^3 - 36m^3 + 12m^2 - 28nm + 36m - 14n $、R、Q、T演算についても同様の閉形式が得られる。
• 結果は、これらの複雑な演算のFインデックスが、成分グラフの標準的不変量から完全に決定可能であることを示しており、効率的な計算および構造-性質予測が可能である。