[論文レビュー] Füredi-Hajnal limits are typically subexponential.

Josef Cibulka, Jan Kynčl|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Random Matrices and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ k $-置換行列 $ P $ に対する Füredi-Hajnal 定数 $ c_P $ に対して、指数的でない上界を確立し、ランダムな $ P $ に対しては漸近的にほとんど確実に $ c_P \leq 2^{O(k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})} $ が成り立ち、すべての $ P $ に対しては $ c_P \leq 2^{(4+o(1))k} $ が成り立つことを示し、従来の境界を改善した。さらに、$ d $-次元における置換行列の回避問題に対して、ほぼ一致する上界と下界を確立した。

ABSTRACT

A binary matrix is a matrix with entries from the set $\{0,1\}$. We say that a binary matrix $A$ contains a binary matrix $S$ if $S$ can be obtained from $A$ by removal of some rows, some columns, and changing some $1$-entries to $0$-entries. If $A$ does not contain $S$, we say that $A$ avoids $S$. A $k$-permutation matrix $P$ is a binary $k imes k$ matrix with exactly one $1$-entry in every row and one $1$-entry in every column. The F\uredi-Hajnal conjecture, proved by Marcus and Tardos, states that for every permutation matrix $P$, there is a constant $c_P$ such that for every $n \in \mathbb{N}$, every $n imes n$ binary matrix $A$ with at least $c_P n$ $1$-entries contains $P$. We show that $c_P \le 2^{O(k^{2/3}\log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})}$ asymptotically almost surely for a random $k$-permutation matrix $P$. We also show that $c_P \le 2^{(4+o(1))k}$ for every $k$-permutation matrix $P$, improving the constant in the exponent of a recent upper bound on $c_P$ by Fox. We also consider a higher-dimensional generalization of the Stanley-Wilf conjecture about the number of $d$-dimensional $n$-permutation matrices avoiding a fixed $d$-dimensional $k$-permutation matrix, and prove almost matching upper and lower bounds of the form $(2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$ and $n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$, respectively.

研究の動機と目的

• Füredi-Hajnal 定数 $ c_P $ の上界を改善すること。この定数は、$ k \times k $ 置換行列 $ P $ を含まない $ n \times n $ 0-1 行列における 1-要素の最大数を制御する。
• ランダムな $ k $-置換行列 $ P $ に対する $ c_P $ の漸近的挙動を特定し、それが通常 $ k $ に関して指数的でないことを示すこと。
• Stanley-Wilf 予想を $ d $-次元に拡張すること。固定された $ d $-次元 $ k $-置換行列を回避する $ d $-次元 $ n $-置換行列の数を分析すること。
• 高次元におけるこのような回避集合の成長率に対して、ほぼタイトな上界と下界を確立すること。

提案手法

• 確率論的手法を用いて、ランダムな $ k $-置換行列 $ P $ に対する $ c_P $ の典型的挙動を分析し、漸近的にほとんど確実に指数的でない境界が成り立つことを証明する。
• 極値的組合せ論と行列パターン回避技術を適用し、$ c_P $ の最悪ケース上界を導出し、Fox の以前の結果を改善する。
• Füredi-Hajnal 予想の Marcus-Tardos 証明を基盤として、高次元における禁止構造の構造を分析することで、Stanley-Wilf フレームワークを $ d $-次元置換行列に一般化する。
• 組合せ的構成とエントロピーに基づく議論を用いて、ほぼ一致する上界と下界を確立し、成長率が $ (2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $ であることを示す（多項式因子を除いて）。
• Füredi-Hajnal 予想の Marcus-Tardos 証明を、禁止パターンの極値関数をバインドする基盤として活用する。
• 特に $ k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3} $ を含む指数の漸近的解析を用いて、指数的でない推定値を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな $ k $-置換行列 $ P $ に対して、Füredi-Hajnal 定数 $ c_P $ の典型的な値は何か？
• RQ2 $ c_P $ の上界を、$ k $ に関する指数的依存性を超えて、特に指数的でない形に改善できるか？
• RQ3 固定された $ d $-次元 $ k $-置換行列を回避する $ d $-次元 $ n $-置換行列の数は、$ n $ と $ k $ と共にどのように増加するか？
• RQ4 高次元における回避数の上界と下界は、漸近的にタイトか？
• RQ5 このような回避集合の成長率における正確な漸近的指数は何か？

主な発見

• ランダムな $ k $-置換行列 $ P $ に対して、$ c_P \leq 2^{O(k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})} $ が漸近的にほとんど確実に成り立つ。
• すべての $ k $-置換行列 $ P $ に対して、境界は $ c_P \leq 2^{(4+o(1))k} $ に改善され、指数部分の係数が小さくなった。
• 本稿は、固定された $ d $-次元 $ k $-置換行列を回避する $ d $-次元 $ n $-置換行列の数に対して、ほぼ一致する上界と下界を確立した。
• 回避数の上界は $ (2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $ であり、これは超指数的だが階乗的成長より小さいことを示している。
• 下界は $ n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $ であり、$ n $ における多項式および指数的因子を除いて上界と一致する。
• 結果として、高次元置換における禁止構成の成長が厳密に制約されていることが示され、境界の指数が次元 $ d $ に依存していることが明らかになった。