[論文レビュー] Fa\`a di Bruno subalgebras of the Hopf algebra of planar trees from combinatorial Dyson-Schwinger equations

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、平面根付き木のConnes-Kreimerホップ代数において、組合せ的Dyson-Schwinger方程式 $X = B^+(P(X))$ の解を研究し、生成された部分代数 $A_P$ がホップ部分代数となるような形式的級数 $P$ を同定する。これらは3つの同型類に分類される：多項式環、擬対称関数と同型なラダー部分代数、および非可換なFa'a di Brunoホップ代数のバージョンであり、後者は古典的Fa'a di Bruno代数が木ホップ代数に無限に埋め込まれることをもたらす。

ABSTRACT

We consider the combinatorial Dyson-Schwinger equation X=B^+(P(X)) in the non-commutative Connes-KreimerHopf algebra of planar rooted trees H, where B^+ is the operator of grafting on a root, and P a formal series. The unique solution X of this equation generates a graded subalgebra A_P of\H. We describe all the formal series P such that A_P is a Hopf subalgebra. We obtain in this way a 2-parameters family of Hopf subalgebras of H, organized into three isomorphism classes: a first one, restricted to a olynomial ring in one variable; a second one, restricted to the Hopf subalgebra of ladders, isomorphic to the Hopf algebra of quasi-symmetric functions; a last (infinite) one, which gives a non-commutative version of the Fa\`a di Bruno Hopf algebra. By taking the quotient, the last classe gives an infinite set of embeddings of the Fa\`a di Bruno algebra into the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees. Moreover, we give an embedding of the free Fa\`a di Bruno Hopf algebra on D variables into a Hopf algebra of decorated rooted trees, togetherwith a non commutative version of this embedding.

研究の動機と目的

• 平面根付き木のConnes-Kreimerホップ代数 $H$ のホップ部分代数である $A_P$ となるような、形式的級数 $P$ をすべて同定すること。
• 得られたホップ部分代数 $A_P$ を同型類に分類し、その代数的構造を特定すること。
• 商構成を用いて、古典的Fa'a di Brunoホップ代数を木ホップ代数に埋め込むこと。
• 装飾付き根付き木を用いて、$D$ 変数の自由Fa'a di Brunoホップ代数の非可換版を構成すること。

提案手法

• 非可換なConnes-Kreimerホップ代数 $H$ において、$B^+$ をグラフ結合作用素とする組合せ的Dyson-Schwinger方程式 $X = B^+(P(X))$ を解く。
• $A_P$ がコモジュール作用素に関して閉じているような形式的級数 $P$ を同定し、それがホップ部分代数であることを保証する。
• $P$ の異なるクラスにおける $A_P$ の代数的構造を分析し、3つの同型類を特定する：多項式環、ラダー、および非可換なFa'a di Brunoに類似した構造。
• 商構成を用いて、無限個の非可換部分代数が古典的Fa'a di Brunoホップ代数へ写像されることを示す。
• $D$ 変数の自由Fa'a di Brunoホップ代数を装飾付き根付き木のホップ代数へ埋め込む。
• 非可換関係を持つ装飾付き木を用いて、この埋め込みの非可換版を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの形式的級数 $P$ に対して、Dyson-Schwinger方程式 $X = B^+(P(X))$ の解 $X$ によって生成される部分代数 $A_P$ が平面根付き木のConnes-Kreimerホップ代数のホップ部分代数となるか？
• RQ2 Dyson-Schwinger方程式の解から生じるホップ部分代数 $A_P$ の同型類は何か？
• RQ3 商構成による $A_P$ を用いて、古典的Fa'a di Brunoホップ代数をConnes-Kreimerホップ代数の平面木へどのように埋め込むことができるか？
• RQ4 $D$ 変数の自由Fa'a di Brunoホップ代数を装飾付き根付き木のホップ代数に埋め込むことは可能か？その埋め込みの構造は何か？
• RQ5 非可換なFa'a di Brunoホップ代数の構造は何か？そして、装飾付き木の枠組み内でどのように実現できるか？

主な発見

• 本稿は、平面根付き木のConnes-Kreimerホップ代数内に、Dyson-Schwinger方程式 $X = B^+(P(X))$ の解から生じる2パラメータ族のホップ部分代数 $A_P$ を同定する。
• これらの部分代数は3つの同型類に分類される：1変数多項式環に同型な1つ、擬対称関数と同型なラダー部分代数を介して同型な1つ、および非可換なFa'a di Brunoホップ代数のバージョンである1つ。
• 非可換なFa'a di Bruno部分代数は無限個のホップ部分代数として現れ、その商は古典的Fa'a di Bruno代数が木ホップ代数に無限に埋め込まれることをもたらす。
• 古典的Fa'a di Brunoホップ代数は、非可換部分代数からの商写像を用いてConnes-Kreimerホップ代数に埋め込まれ、体系的な埋め込み機構を確立する。
• $D$ 変数の自由Fa'a di Brunoホップ代数が装飾付き根付き木のホップ代数に埋め込まれる構成がなされ、古典的な場合を一般化する。
• この埋め込みの非可換版が開発され、非可換な装飾付き木の枠組みを用いて、非可換なFa'a di Bruno構造の新たな実現が得られる。