[論文レビュー] Factorization for Hardy spaces and characterization for BMO spaces via commutators in the Bessel setting

Xuan Thinh Duong, Ji Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Bessel作用素 $\Delta_\lambda$ に関連するリーマン変換 $R_{\Delta_\lambda}$ を用いた双線形形式を通じて、Hardy空間 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ の弱分解を確立する。この分解は、$\Delta_\lambda$ に関連する BMO 空間を、$R_{\Delta_\lambda}$ を含む交換子を通じて特徴付ける。さらに、作用素 $S_\lambda$ に関連する Hardy 空間 $H^1_{S_\lambda}$ に対しては、同様の弱分解が存在しないことを示し、$S_\lambda$ に関する BMO 空間が $R_{S_\lambda}$ を含む交換子によって特徴付けられないことを示している。

ABSTRACT

Fix $λ>0$. Consider the Hardy space $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ in the sense of Coifman and Weiss, where $\mathbb{R_+}:=(0,\infty)$ and $dm_λ:=x^{2λ}dx$ with $dx$ the Lebesgue measure. Also consider the Bessel operators $Δ_λ:=-\frac{d^2}{dx^2}-\frac{2λ}{x} \frac d{dx}$, and $S_λ:=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{λ^2-λ}{x^2}$ on $\mathbb{R_+}$. The Hardy spaces $H^1_{Δ_λ}$ and $H^1_{S_λ}$ associated with $Δ_λ$ and $S_λ$ are defined via the Riesz transforms $R_{Δ_λ}:=\partial_x (Δ_λ)^{-1/2}$ and $R_{S_λ}:= x^λ\partial_x x^{-λ} (S_λ)^{-1/2}$, respectively. It is known that $H^1_{Δ_λ}$ and $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ coincide but they are different from $H^1_{S_λ}$. In this article, we prove the following: (a) a weak factorization of $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ by using a bilinear form of the Riesz transform $R_{Δ_λ}$, which implies the characterization of the BMO space associated to $Δ_λ$ via the commutators related to $R_{Δ_λ}$; (b) the BMO space associated to $S_λ$ can not be characterized by commutators related to $R_{S_λ}$, which implies that $H^1_{S_λ}$ does not have a weak factorization via a bilinear form of the Riesz transform $R_{S_λ}$.

研究の動機と目的

• Bessel作用素 $\Delta_\lambda$ に関連するリーマン変換 $R_{\Delta_\lambda}$ を用いて、Hardy空間 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ の弱分解を確立すること。
• $R_{\Delta_\lambda}$ を含む交換子を通じて、$\Delta_\lambda$ に関連する BMO 空間を特徴付けること。
• 作用素 $S_\lambda$ に関連する Hardy 空間 $H^1_{S_\lambda}$ が、そのリーマン変換 $R_{S_\lambda}$ の双線形形式を通じて弱分解を許容するかを調査すること。
• 作用素 $S_\lambda$ に関連する BMO 空間が、$R_{S_\lambda}$ を含む交換子によって特徴付けられるかを同定すること。

提案手法

• $R_{\Delta_\lambda} = \partial_x (\Delta_\lambda)^{-1/2}$ を用いて、Hardy空間 $H^1_{\Delta_\lambda}$ を定義し、Coifman-Weiss の $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ と関連付ける。
• 双線形形式 $\Pi_{\Delta_\lambda}(g,h) = g R_{\Delta_\lambda} h - h \widetilde{R_{\Delta_\lambda}} g$ を用いた弱分解技術により、$H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 内の関数を表現する。
• H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ と $\Delta_\lambda$ に関連する BMO 空間との双対性を用い、交換子ノルムと BMO 半ノルムを結びつける。
• 反例として $b_0(x) = \log x$ を構成し、$b_0 \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ であるが $b_0 \notin \text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$（$H^1_{S_\lambda}$ の双対 BMO 空間）であることを示す。
• $H^1_{S_\lambda}$ が弱分解を許容すると仮定し、$b \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ に対して $[b, R_{S_\lambda}]$ が $L^p(\mathbb{R}_+, dx)$ 上で有界であるという事実と矛盾を導く。
• Calderón–Zygmund 理論および Coifman, Rochberg, Weiss の交換子と分解に関する古典的結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hardy空間 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ は、リーマン変換 $R_{\Delta_\lambda}$ の双線形形式を用いて弱分解可能か？
• RQ2 Bessel作用素 $\Delta_\lambda$ に関連する BMO 空間は、$R_{\Delta_\lambda}$ を含む交換子によって特徴付けられるか？
• RQ3 作用素 $S_\lambda$ に関連する Hardy 空間 $H^1_{S_\lambda}$ は、そのリーマン変換 $R_{S_\lambda}$ の双線形形式を通じて弱分解可能か？
• RQ4 作用素 $S_\lambda$ に関連する BMO 空間は、$R_{S_\lambda}$ を含む交換子によって特徴付けられるか？
• RQ5 関数 $b$ で、交換子 $[b, R_{S_\lambda}]$ が $L^p$ 上で有界であるが、$b$ が $H^1_{S_\lambda}$ の双対 BMO 空間に属さないようなものが存在するか？

主な発見

• $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ は、リーマン変換 $R_{\Delta_\lambda}$ の双線形形式を通じて弱分解可能であり、これは $\Delta_\lambda$ に関連する BMO 空間が $R_{\Delta_\lambda}$ を含む交換子によって特徴付けられることを示唆する。
• $S_\lambda$ に関連する BMO 空間は、$R_{S_\lambda}$ を含む交換子によって特徴付けられない。反例 $b_0(x) = \log x$ により、$b_0 \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ であるが $b_0 \notin \text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$ であることが示された。
• 関数 $b_0(x) = \log x$ は、$1 < p < \infty$ に対して $\|[b_0, R_{S_\lambda}]\|_{L^p \to L^p} < \infty$ を満たすが、$\|b_0\|_{\text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)} = \infty$ であるため、交換子ノルムが BMO$_o$ 半ノルムを制御しないことが示された。
• BMO$_o$ が交換子によって特徴付けられないことの失敗は、$H^1_{S_\lambda}$ が $R_{S_\lambda}$ の双線形形式を通じて弱分解を許容しないことを示唆する。
• $H^1_{\Delta_\lambda}$ と $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ は一致するが、$H^1_{S_\lambda}$ は異なり、$\Delta_\lambda$ の場合に見られる分解構造を欠いている。
• この結果は、Bessel型微分作用素に関連する二つの作用素 $\Delta_\lambda$ と $S_\lambda$ の間で、Hardy空間および BMO 空間の構造に根本的な違いが存在することを強調している。