[論文レビュー] Fantastic Quantum Theories and Where to Find Them

Stefano Gogioso|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可換自己対合的半体値波動関数を用いて、標準量子力学を一般化する一様な圏論的枠組みを導入し、奇妙な量子理論の構築と分析を可能にする。このような理論は、半体に基づく古典的非決定論をボーン則を通じて得られ、実、双曲的、p進、有限体量子理論といった主な玩具モデルがすべてこの形式主義に適合することを示し、それらの非局所性と計算複雑性の統一的分析を可能にする。

ABSTRACT

We present a uniform framework for the treatment of a large class of toy models of quantum theory. Specifically, we will be interested in theories of wavefunctions valued in commutative involutive semirings, and which give rise to some semiring-based notion of classical non-determinism via the Born rule. The models obtained with our construction possess many of the familiar structures used in Categorical Quantum Mechanics. We also provide a bestiary of increasingly exotic examples: some well known, such as real quantum theory and relational quantum theory; some less known, such as hyperbolic quantum theory, p-adic quantum theory and "parity quantum theory"; and some entirely new, such as "finite-field quantum theory" and "tropical quantum theory". As a further bonus, the measurement scenarios arising within these theories can be studied using the sheaf-theoretic framework for non-locality and contextuality. Their computational complexity can similarly be studied within existing frameworks for affine and unitary circuits over commutative semirings.

研究の動機と目的

• 可換自己対合的半体に基づく玩具的量子理論の構築のための一般的な圏論的枠組みを構築すること。
• 実、双曲的、p進、有限体量子理論といった多様な量子的類似理論を、一つの形式主義に統一すること。
• 半体に基づくボーン則を通じて、確率的および可能性的概念を一般化した一貫した古典的非決定論の取り扱いを提供すること。
• これらの理論における非局所性と計算パワーの分析に、層論的フレームワークと既存の回路複雑性モデルを応用できるようにすること。

提案手法

• 有限集合 $ X $ に対して $ S^X $ を対象とし、可換自己対合的半体 $ S $ 上の $ Y \times X $ 行列を射とする圏 $ S\text{-Mat} $ を用いて量子系をモデル化する。行列の合成と随伴転置をダガー演算とする。
• $ S\text{-Mat} $ 上の $ \mathrm{CP}^* $-構成を用いて混合状態理論を構築し、$ S $ の正の元からなる半体 $ R $ を用いた $ R $-確率的理論を導出する。これはボーン則を一般化する。
• 圏的確率的理論の枠組みを用いて、符号付き確率や可能性的、p進的非決定論を含む、一般の非決定的意味論を有する量子系と古典系を統一的に扱う。
• これらの理論から導かれる測定シナリオにおける非局所性と非局所性の分析に、層論的手法を適用する。
• 可換半体上のアフィン的およびユニタリ回路の既存の複雑性フレームワークを活用し、計算パワーを評価する。
• 有限体 $ \mathbb{F}_{p^n}(\sqrt{\epsilon}) $ に対して、得られる理論における純粋スカラーの数は $ p^n - 1 $ であり、位相は巡回群 $ \mathbb{Z}_{p^n+1} $ を形成する。これにより、隠れ部分群問題やメルミン型非局所性の分析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な圏論的枠組みは、非標準的な古典的インターフェースを持つ広範な奇妙な量子理論クラスを一貫して記述できるか？
• RQ2 半体値振幅へのボーン則の一般化は、一貫した古典的非決定論の概念をどのように得るか？
• RQ3 有限体、p進数、トロピカル半体上の量子理論の構造的および計算的性質は何か？
• RQ4 これらの理論における非局所性と非局所性は、層論的手法を用いて体系的に分析可能か？
• RQ5 これらの理論が、隠れ部分群問題のような問題を効率的に解けるのはどのような条件下か？

主な発見

• $ S\text{-Mat} $ は $ \mathbb{C}\text{-Mat} $ を一般化し、クロンネッカー積をテンソル積とし、随伴転置をダガー演算とするダガーコンパクト圏をなす。
• $ S = \mathbb{F}_{p^n}(\sqrt{\epsilon}) $ のとき、$ \mathrm{CP}^* [S\text{-Mat}] $ における非ゼロの純粋スカラーの数は正確に $ p^n - 1 $ であり、位相は巡回群 $ \mathbb{Z}_{p^n+1} $ を形成する。
• $ \mathrm{CP}^* [S\text{-Mat}] $ は任意の可換自己対合的半体 $ S $ に対して $ R $-確率的理論である。ここで $ R $ は $ S $ の正の元の半体であり、一貫した量子-古典的インターフェースを保証する。
• 自明な自己対合をもつトロピカル量子理論では、正の元（平方）は加法に関して閉じており、'フランチェス・ドリーム'恒等式 $ (x+y)^2 = x^2 + y^2 $ の結果として、部分半体をなす。
• $ \mathbb{F}_{p^n}(\sqrt{\epsilon}) $ に対して、隠れ部分群問題は $ p^n + 1 $ が部分群の位数で割り切れる場合に限り、効率的に解ける。これは十分なユニタリキャラクターが存在するためである。
• $ p^n + 1 $ が平方自由で、相異なる素数の積である場合、位相ゲートの群は十分なキャラクターを持つ巡回群の積に分解されるため、非自明な一般化メルミン型非局所性の議論は存在しない。