[論文レビュー] Fast Algorithms for Max Independent Set in Graphs of Small Average Degree

Nicolas Bourgeois, Bruno Escoffier+2 more|ArXiv.org|Jan 12, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、平均次数 ≤6 のグラフにおける最大独立集合問題のためのより高速な正確アルゴリズムを提示する。精密化された削減規則と、新たな「上から下へ」の複雑さ転送法を用いる。得られた時間計算量の上限は、平均次数 ≤3 で O*(1.0854ⁿ)、≤4 で O*(1.1571ⁿ)、≤5 で O*(1.1969ⁿ)、≤6 で O*(1.2149ⁿ) であり、平均次数および最大次数の制約の両面で、先行研究を上回る結果を得た。

ABSTRACT

Max Independent Set (MIS) is a paradigmatic problem in theoretical computer science and numerous studies tackle its resolution by exact algorithms with non-trivial worst-case complexity. The best such complexity is, to our knowledge, the $O^*(1.1889^n)$ algorithm claimed by J.M. Robson (T.R. 1251-01, LaBRI, Univ. Bordeaux I, 2001) in his unpublished technical report. We also quote the $O^*(1.2210^n)$ algorithm by Fomin and al. (in Proc. SODA'06, pages 18-25, 2006), that is the best published result about MIS. In this paper we settle MIS in (connected) graphs with "small" average degree, more precisely with average degree at most 3, 4, 5 and 6. Dealing with graphs of average degree at most 3, the best bound known is the recent $O^*(1.0977^n)$ bound by N. Bourgeois and al. in Proc. IWPEC'08, pages 55-65, 2008). Here we improve this result down to $O^*(1.0854^n)$ by proposing finer and more powerful reduction rules. We then propose a generic method showing how improvement of the worst-case complexity for MIS in graphs of average degree $d$ entails improvement of it in any graph of average degree greater than $d$ and, based upon it, we tackle MIS in graphs of average degree 4, 5 and 6. For MIS in graphs with average degree 4, we provide an upper complexity bound of $O^*(1.1571^n)$ that outperforms the best known bound of $O^*(1.1713^n)$ by R. Beigel (Proc. SODA'99, pages 856-857, 1999). For MIS in graphs of average degree at most 5 and 6, we provide bounds of $O^*(1.1969^n)$ and $O^*(1.2149^n)$, respectively, that improve upon the corresponding bounds of $O^*(1.2023^n)$ and $O^*(1.2172^n)$ in graphs of maximum degree 5 and 6 by (Fomin et al., 2006).

研究の動機と目的

• 平均次数が小さいグラフにおける最大独立集合問題の正確アルゴリズムの最悪計算量を改善すること。
• 平均次数が低いグラフから高いグラフへ複雑さの改善を転送する汎用的手法を開発すること。
• 特にスパースな場合に、最大次数が 3, 4, 5, 6 のグラフに対して、既存の境界を上回ること。
• 平均次数 ≤3 のグラフに対する削減規則を精緻化し、よりタイトな境界を達成すること。

提案手法

• 平均次数が 3 以下のグラフにおける時間計算量の向上を図るため、より細かく強力な削減規則を提案する。
• 平均次数 d のグラフから平均次数 > d のグラフへ境界を拡張するための「上から下へ」の手法を導入し、パラメータ化された再帰形式を用いる。
• 頂点および辺の削減に基づく再帰関係を用い、複雑さを O*(αⁿ) の形で表現する。ここで α は特徴方程式の最大固有値から導かれる。
• 再帰における頂点削減と辺削減のトレードオフをモデル化するため、O*(γⁿ y^{m - (5/2 + εᵢ)n}) のパラメータ化された複雑さ形式を用いる。
• 低次の平均次数における既知の境界を活用することで、平均次数 4, 5, 6 の場合の境界を導出する。
• 組合せ的解析と制約最適化を用いて、分岐ステップで削除される最小辺数を評価することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均次数 ≤3 のグラフにおける最大独立集合問題の最悪計算量を、O*(1.0977ⁿ) を超えて改善できるか？
• RQ2 平均次数 d のグラフから平均次数がより高いグラフへ、複雑さの改善を一般化して転送する方法は存在するか？
• RQ3 平均次数 4, 5, 6 のグラフにおける最大独立集合問題の時間計算量を、体系的な転送メカニズムを用いて改善できるか？
• RQ4 平均次数 ≤6 のグラフにおける最大独立集合問題の最もタイトな時間計算量は何か？また、最大次数の境界と比べてどうなるか？

主な発見

• 本稿では、平均次数が 3 以下のグラフにおける最大独立集合問題に対して、O*(1.0854ⁿ) の時間計算量の上限を達成し、以前の最良結果である O*(1.0977ⁿ) を上回った。
• 平均次数が 4 以下のグラフでは、O*(1.1571ⁿ) の境界を確立し、最大次数 4 の場合の以前の最良結果である O*(1.1713ⁿ) を上回った。
• 平均次数が 5 以下のグラフでは、O*(1.1969ⁿ) の境界が得られ、最大次数 5 の場合の O*(1.2023ⁿ) の境界を改善した。
• 平均次数が 6 以下のグラフでは、O*(1.2149ⁿ) の境界が得られ、最大次数 6 の場合の O*(1.2172ⁿ) の境界を上回った。
• 提案された「上から下へ」の複雑さ転送手法により、低次のグラフから高次のグラフの境界を導出可能であり、すべてのテストケースで有効性が裏付けられた。
• 結果から、特にスパースなグラフにおいて、平均次数の制約が最大次数の制約よりもタイトな境界をもたらすことが示された。