[論文レビュー] Fast and efficient exact synthesis of single qubit unitaries generated by Clifford and T gates

Vadym Kliuchnikov, Dmitri Maslov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 55

ひとこと要約

本稿では、CliffordおよびTゲートのみを用いて1キュービットユニタリを高速かつ正確に合成するためのアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、そのような回路が環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上のすべてのユニタリを正確に実装することを証明している。アルゴリズムは、アダマールゲートおよびTゲートのカウントを最小化し、1キュービットの場合の正確合成において、ゲート数と実行時間の両面で最適な性能を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we show the equivalence of the set of unitaries computable by the circuits over the Clifford and T library and the set of unitaries over the ring $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}},i]$, in the single-qubit case. We report an efficient synthesis algorithm, with an exact optimality guarantee on the number of Hadamard and T gates used. We conjecture that the equivalence of the sets of unitaries implementable by circuits over the Clifford and T library and unitaries over the ring $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}},i]$ holds in the $n$-qubit case.

研究の動機と目的

• 与えられた1キュービットユニタリが、CliffordおよびTゲートのみを用いて正確に合成可能かどうかを特定すること。
• 任意の正確に合成可能なユニタリに対して、アダマールゲートおよびTゲートの数が理論的に最小となる効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 1キュービットの場合に、CliffordおよびT回路で実装可能なユニタリの集合と、環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上のユニタリの集合との間の数学的同等性を確立すること。
• 正確に合成可能なユニタリの回路サイズに対する構成的上界を提供すること。
• アダカのキュービットを1つ用意した場合に、正確合成の同等性がnキュービットの場合へ拡張可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 1キュービットユニタリ合成を、環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上の状態準備問題に還元すること。
• CliffordおよびTゲート集合で実装可能なユニタリの代数的構造を確立するための2つの主要な補題の使用。
• 任意の1キュービットユニタリを、アダマールゲートおよびTゲートのみを用いた回路に分解するアルゴリズムの開発。このアルゴリズムは、アダマールおよびTゲートのカウントが理論的に最小であることを保証する。
• 環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ の構造を活用して、必要なゲート数の上限を設定し、終了保証を実現すること。
• 合成および比較の過程で高精度算術を処理するため、GNU Multiple Precision Arithmetic Libraryの使用。
• ゲート数が各回路あたり最大3個までに制限された最適化されたゲートシーケンスのルックアップテーブルの活用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上のすべての1キュービットユニタリは、CliffordおよびTゲートのみを用いて正確に合成可能か？
• RQ2 任意の正確に合成可能なユニタリに対して、アダマールゲートおよびTゲートの数が最小となる効率的なアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ の代数的構造と、CliffordおよびT回路で実装可能なユニタリの集合との関係は何か？
• RQ4 正確な合成の同等性はnキュービットの場合へ拡張可能か？その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 本アルゴリズムが生成するゲート数は、HおよびTゲートに限らず、Pauli-P（T²）などの他のゲートタイプに対しても最適であるか？

主な発見

• CliffordおよびT回路で実装可能な1キュービットユニタリの集合は、環 $\mathbb{Z}[\frac{1}{\sqrt{2}}, i]$ 上のユニタリの集合と完全に一致する。
• 提案された合成アルゴリズムは、出力回路におけるアダマールゲートおよびTゲートのカウントを最小化し、実行時間とゲート数の両面で漸近的に最適性を達成する。
• アルゴリズムは、任意の出力回路において、パウリ-Xおよびパウリ-Yゲートの使用数が最大3個までに制限されることを保証しており、強力な構造的効率性を示している。
• 実験の結果、Solovay-Kitaevアルゴリズムで生成された回路を、本手法で再合成すると、{H, T}ライブラリを使用した場合に10–20%、{H, T, P, Z}を使用した場合に40–60%のゲート数削減が達成された。
• 本アルゴリズムは $10^{-50}$ の精度にまで達し、それに対してDawsonの実装は $10^{-8}$ を超えると収束しないため、著しく優れている。
• 本稿では、1つのアダカのキュービット（状態 $|0\rangle$）を用意できる場合に、正確な合成同等性がnキュービットの場合へ拡張可能であると予想しているが、これはまだ未解決のままである。