[論文レビュー] Fast and rigorous arbitrary-precision computation of Gauss-Legendre quadrature nodes and weights

Fredrik Johansson, Marc Mezzarobba|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Numerical Methods and Algorithms参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、超幾何級数展開、長方形分割、区間ニュートン反復を用いて、ガウス＝ルジャンドル求積のノードと重みを高速かつ厳密に任意精度で計算するアルゴリズムを提示する。従来の手法と比較して、1000〜10000ビットの高精度求積規則を1コアで数秒から数分で実行可能にするという、桁違いの高速化を達成している。

ABSTRACT

We describe a strategy for rigorous arbitrary-precision evaluation of Legendre polynomials on the unit interval and its application in the generation of Gauss-Legendre quadrature rules. Our focus is on making the evaluation practical for a wide range of realistic parameters, corresponding to the requirements of numerical integration to an accuracy of about 100 to 100 000 bits. Our algorithm combines the summation by rectangular splitting of several types of expansions in terms of hypergeometric series with a fixed-point implementation of Bonnet's three-term recurrence relation. We then compute rigorous enclosures of the Gauss-Legendre nodes and weights using the interval Newton method. We provide rigorous error bounds for all steps of the algorithm. The approach is validated by an implementation in the Arb library, which achieves order-of-magnitude speedups over previous code for computing Gauss-Legendre rules with simultaneous high degree and precision.

研究の動機と目的

• 100〜100000ビットの精度を要する応用分野において、任意精度のガウス＝ルジャンドル求積規則を実用的に計算可能にする。
• ルジャンドル多項式の次数 $ n $ に対して2次以上となる時間計算量を有する従来の手法の計算ボトルネックを克服する。
• 多項式評価、根の探索、重み計算の各段階において、厳密な誤差境界を提供する。
• 効率的かつ証明可能に正しい方法を提供し、計算代数や実験的数学における高精度数値積分に適したものとする。

提案手法

• アルゴリズムは、単位区間におけるルジャンドル多項式の超幾何級数展開を長方形分割により合算することで、任意精度での高速かつ正確な評価を可能にする。
• 固定小数点演算とボンネットの3項再帰関係を組み合わせることで、ルジャンドル多項式およびその導関数を厳密な誤差制御で計算する。
• ルジャンドル多項式の根は区間ニュートン法を用いて計算され、収束が保証された厳密なノードの包含域が得られる。
• 重みは標準式 $ w_i = rac{2}{(1 - x_i^2)(P_n'(x_i))^2} $ に基づきノードから計算され、すべての段階で誤差境界が厳密に伝播される。
• この手法はArbライブラリに実装されており、任意精度の区間演算および高速算術プリミティブを活用している。
• 漸近展開と最適化された和算技術を用いることで、古典的手法の $ ilde{O}(n^2) $ の計算量を回避し、近似的に最適なビット計算量を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1000〜10000ビットの精度レベルで、ヒューリスティックな誤差推定に依存せずに、ガウス＝ルジャンドル求積のノードと重みを効率的かつ厳密に計算できるか？
• RQ2 漸近展開と高速和算を用いることで、高精度なルジャンドル多項式評価および根の探索において、$ n $ に対して2次未満の時間計算量を達成できるか？
• RQ3 多項式評価から根および重みの計算に至るまで、計算パイプライン全体で厳密な誤差境界を維持できるか？ これは、検証可能な数値積分に適している。
• RQ4 高精度において、この手法の性能は、Clenshaw-Curtis や二重指数関数的求積などの代替求積スキームと比較して、セットアップコストと1回の評価効率の点でどう異なるか？

主な発見

• 1コアで1000桁精度のガウス＝ルジャンドル求積規則を1〜2秒、10000桁精度を10〜20分で計算可能であり、従来の手法と比べて顕著な高速化を達成している。
• この手法は、非ネスト型のガウス＝ルジャンドルノードであるにもかかわらず、Clenshaw-Curtis や二重指数関数的求積と同程度の、対数要因を除いて最適に近いビット計算量を達成している。
• 長方形分割と固定小数点再帰の組み合わせにより、任意精度でのルジャンドル多項式およびその導関数の高速かつ厳密な評価が可能になった。
• 区間ニュートン法により、大きな $ n $ に対しても根の包含域を厳密に計算でき、収束が保証され、誤差境界がすべての段階で厳密に伝播されている。
• すべての根が独立に計算可能であるため、このアルゴリズムは並列処理に非常に適しており、マルチコアまたは分散実行にも適している。
• Arbライブラリへの実装により、数千桁の精度を要する応用分野においても、高精度ガウス＝ルジャンドル求積がもはや実用的でないほど高コストではないことが示された。