[論文レビュー] Fast Approximate Construction of Best Complex Antipodal Spherical Codes

Miguel Heredia Conde, Otmar Loffeld|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 61被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素回転の全和を近似的な最近傍探索（ANN）に置き換えることで、Best Complex Antipodal Spherical Codes（BCASC）を高速かつ線形時間計算量で構築するアルゴリズムを提案する。この手法により、計算コストを O(m²n²K) から O(mn n_rot log(n n_rot)) に低減し、大規模な圧縮センシング（CS）応用におけるBCASCの効率的生成を可能にした。その結果、従来手法と同等または優れたコherence性能を達成した。

ABSTRACT

Compressive Sensing (CS) theory states that real-world signals can often be recovered from much fewer measurements than those suggested by the Shannon sampling theorem. Nevertheless, recoverability does not only depend on the signal, but also on the measurement scheme. The measurement matrix should behave as close as possible to an isometry for the signals of interest. Therefore the search for optimal CS measurement matrices of size $m imes n$ translates into the search for a set of $n$ $m$-dimensional vectors with minimal coherence. Best Complex Antipodal Spherical Codes (BCASCs) are known to be optimal in terms of coherence. An iterative algorithm for BCASC generation has been recently proposed that tightly approaches the theoretical lower bound on coherence. Unfortunately, the complexity of each iteration depends quadratically on $m$ and $n$. In this work we propose a modification of the algorithm that allows reducing the quadratic complexity to linear on both $m$ and $n$. Numerical evaluation showed that the proposed approach does not worsen the coherence of the resulting BCASCs. On the contrary, an improvement was observed for large $n$. The reduction of the computational complexity paves the way for using the BCASCs as CS measurement matrices in problems with large $n$. We evaluate the CS performance of the BCASCs for recovering sparse signals. The BCASCs are shown to outperform both complex random matrices and Fourier ensembles as CS measurement matrices, both in terms of coherence and sparse recovery performance, especially for low $m/n$, which is the case of interest in CS.

研究の動機と目的

• 従来のBCASC構築アルゴリズムが m と n に関して二次的にスケーリングする高コストな計算量を解消すること。
• m と n が大きい大規模な圧縮センシング問題においてBCASCの生成を可能にすること。
• 計算量を著しく削減しながら、コヒーレンス性能を維持または向上させる近似手法を開発すること。
• 得られたBCASCをスパース信号復元における測定行列としての性能を評価すること。
• BCASCが標準的なランダム行列やフーリエ測定行列を上回ることを示すこと。

提案手法

• 元のアルゴリズムにおけるすべての複素回転に関する全和を、離散化された回転領域上の近似的な最近傍探索（ANN）に置き換える。
• 各コードワードごとに固定で小さな数の最近隣接者（NN）を使用して、すべての回転における積分を近似し、n や m に依存するのを軽減する。
• ANNで特定された最も関連性の高い回転成分のみを用いて、反復的更新で各コードワードを逐次構築する。
• 反復的更新プロセス中に反対称性と複素ベクトル制約を維持する。
• 複素回転領域を n_rot ステップに離散化して、連続的回転積分を近似する。
• 反復最適化の各ステップでANNに基づく近似を適用し、計算量を O(m²n²K) から O(mn n_rot log(n n_rot)) に低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m と n に関して二次的から線形的になる計算量削減が、コヒーレンス性能を劣化させることなく実現可能か？
• RQ2 複素回転における近似的な最近傍探索が、全和法と比較してコードのコヒーレンスを維持または向上させるか？
• RQ3 本手法により、従来では不可能だった大規模な n と m の値におけるBCASCの生成が可能か？
• RQ4 得られたBCASCの圧縮センシング（CS）復元性能は、複素ランダム行列およびフーリエエンsemblesと比較してどうか？
• RQ5 特に n が大きい場合に、得られたコードのコヒーレンスが理論的Welch限界に近いか？

主な発見

• 本手法により、各反復の計算量が O(m²n²K) から O(mn n_rot log(n n_rot)) に低減され、m と n に関して線形スケーリングが達成された。
• 得られたBCASCのコヒーレンスは、参照手法と同等またはそれ以上であり、特に n が大きい場合に顕著に優れた性能を示した。
• δ = m/n = 0.5 の場合、提案手法のBCASCのコヒーレンスは 0.04424 であり、ガウス行列（0.08874）とフーリエアンサンブル（0.06262）を上回った。
• 使用する最近傍数に依存しなくても安定しており、少量の固定NN数で高品質なコード生成が可能であることが示された。
• 本手法で生成されたBCASCは、理論的複合限界に非常に近いコヒーレンス値を達成しており、近似的に最適であることが示された。
• スパース信号復元において、BCASCは複素ランダム行列およびフーリエアンサンブルを著しく上回り、特に m/n の比が低い場合に顕著な優位性を示した。