[论文解读] Fast evaluation of the Caputo fractional derivative and its applications to fractional diffusion equations

Shidong Jiang, Jiwei Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用 13

一句话总结

本文提出了一种快速算法，通过使用指数函数之和近似核函数 $ t^{-1-\alpha} $，实现对阶数 $ \alpha \in (0,1) $ 的Caputo分数阶导数的高效计算，将存储需求从 $ O(N_T) $ 降低至 $ O(N_{\text{exp}}) $，计算成本从 $ O(N_T^2) $ 降低至 $ O(N_T N_{\text{exp}}) $。该方法实现了近乎最优的复杂度，并被应用于分数阶扩散方程，实现 $ O(N_S N_T N_{\text{exp}}) $ 的计算工作量和 $ O(N_S N_{\text{exp}}) $ 的存储需求，显著优于直接方法。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm for the evaluation of the Caputo fractional derivative $_0^C\!D_t^αf(t)$ of order $α\in (0,1)$, which can be expressed as a convolution of $f'(t)$ with the kernel $t^{-α}$. The algorithm is based on an efficient sum-of-exponentials approximation for the kernel $t^{-1-α}$ on the interval $[Δt, T]$ with a uniform absolute error $\varepsilon$, where the number of exponentials $N_{ ext{exp}}$ needed is of the order $O\left(\log\frac{1}{\varepsilon}\left( \log\log\frac{1}{\varepsilon}+\log\frac{T}{Δt} ight) +\log\frac{1}{Δt}\left( \log\log\frac{1}{\varepsilon}+\log\frac{1}{Δt} ight) ight)$. As compared with the direct method, the resulting algorithm reduces the storage requirement from $O(N_T)$ to $O(N_{ ext{exp}})$ and the overall computational cost from $O(N_T^2)$ to $O(N_TN_{ ext{exp}})$ with $N_T$ the total number of time steps. Furthermore, when the fast evaluation scheme of the Caputo derivative is applied to solve the fractional diffusion equations, the resulting algorithm requires only $O(N_SN_{ ext{exp}})$ storage and $O(N_SN_TN_{ ext{exp}})$ work with $N_S$ the total number of points in space; whereas the direct methods require $O(N_SN_T$) storage and $O(N_SN_T^2)$ work. The complexity of both algorithms is nearly optimal since $N_{ ext{exp}}$ is of the order $O(\log N_T)$ for $T\gg 1$ or $O(\log^2N_T)$ for $T\approx 1$ for fixed accuracy $\varepsilon$. We also present a detailed stability and error analysis of the new scheme for solving linear fractional diffusion equations. The performance of the new algorithm is illustrated via several numerical examples. Finally, the algorithm can be parallelized in a straightforward manner.

研究动机与目标

• 解决在时变问题中直接计算Caputo分数阶导数时计算成本高和存储需求大的问题。
• 开发一种快速、稳定且精确的算法，用于实现长时间模拟下几乎最优复杂度的Caputo导数计算。
• 将快速计算方案应用于分数阶扩散方程，降低空间-时间离散化中的存储和计算工作量。
• 为求解线性分数阶扩散方程，提供新方案的详细稳定性和误差分析。
• 实现高效并行化，并可扩展至高阶格式和多维问题。

提出的方法

• 将Caputo导数分解为局部部分（通过标准L1格式近似）和涉及与 $ t^{-1-\alpha} $ 卷积的历史部分。
• 在 $[\Delta t, T]$ 上构建 $ t^{-1-\alpha} $ 的指数函数之和近似，保证一致绝对误差 $ \varepsilon $，所需指数函数数量 $ N_{\text{exp}} $ 如论文中所指定。
• 指数函数数量的量级为 $ O\left(\log\frac{1}{\varepsilon}(\log\log\frac{1}{\varepsilon} + \log\frac{T}{\Delta t}) + \log\frac{1}{\Delta t}(\log\log\frac{1}{\varepsilon} + \log\frac{1}{\Delta t})\right) $。
• 利用递推关系加速与近似核函数的卷积，实现对历史部分的快速计算。
• 将所得算法整合进分数阶扩散方程的时间推进格式中，实现 $ O(N_S N_T N_{\text{exp}}) $ 的计算工作量和 $ O(N_S N_{\text{exp}}) $ 的存储需求。
• 采用离散能量法并结合对求积权重的有界性分析，严格推导了稳定性和误差分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $ t^{-1-\alpha} $ 的指数函数之和近似，实现Caputo分数阶导数的近乎最优复杂度计算？
• RQ2 在 $[\Delta t, T]$ 上以一致绝对误差 $ \varepsilon $ 近似 $ t^{-1-\alpha} $ 时，所需指数函数数量 $ N_{\text{exp}} $ 是多少？
• RQ3 在求解分数阶扩散方程时，所提出的快速算法在精度、稳定性和计算成本方面与直接方法相比如何？
• RQ4 该快速计算方案能否扩展至高阶离散格式和多维问题？
• RQ5 当应用于线性分数阶扩散方程时，新方案的稳定性行为如何？

主要发现

• 为实现一致绝对误差 $ \varepsilon $，所需指数函数数量 $ N_{\text{exp}} $ 在 $ T \gg 1 $ 时为 $ O(\log N_T) $，在 $ T \approx 1 $ 时为 $ O(\log^2 N_T) $，实现了近乎最优的复杂度。
• 该快速算法将Caputo导数计算的存储需求从 $ O(N_T) $ 降低至 $ O(N_{\text{exp}}) $，计算成本从 $ O(N_T^2) $ 降低至 $ O(N_T N_{\text{exp}}) $。
• 应用于分数阶扩散方程时，该方法的计算工作量为 $ O(N_S N_T N_{\text{exp}}) $，存储需求为 $ O(N_S N_{\text{exp}}) $，显著优于直接方法。
• 数值结果表明，新方案保持了与标准L1格式相同的收敛阶数（$ 2 - \alpha $），但CPU时间和内存使用量大幅减少。
• 理论稳定性分析表明，在适当条件下，该方案对线性分数阶扩散方程是无条件稳定的。
• 该算法天然具备并行性，可在现代计算架构上实现高效并行实现。