[論文レビュー] A New Fractional Derivative with Classical Properties

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 161

ひとこと要約

本稿では、独立変数の指数的スケーリングを含む極限を用いて定義される新しい分数階微分を提案する。この微分は、線形性、積の法則、商の法則、連鎖律、ロルの定理および平均値の定理といったすべての古典的微分法則を満たし、α=1のときには古典的微分に還元される。主な貢献は、基本的な微分法則を保ちながら、非整数階数に対しても一貫性のある微分法を可能にする良好に振る舞う分数階微分の構築である。

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative which obeys classical properties including: linearity, product rule, quotient rule, power rule, chain rule, vanishing derivatives for constant functions, the Rolle's Theorem and the Mean Value Theorem. The definition, \[ D^α(f)(t) = \lim_{ε ightarrow 0} \frac{f(te^{εt^{-α}}) - f(t)}ε, \] is the most natural generalization that uses the limit approach. For $0\leq α< 1$, it generalizes the classical calculus properties of polynomials. Furthermore, if $α= 1$, the definition is equivalent to the classical definition of the first order derivative of the function $f$. Furthermore, it is noted that there are $α-$differentiable functions which are not differentiable.

研究の動機と目的

• 既存の分数階微分における一貫性の欠如、特に積の法則や連鎖律といった古典的微分法則を満たさない問題を解決すること。
• 非整数階数、特に0 < α < 1に対して、古典的微分法則を一般化する分数階微分を構築すること。
• α = 1のとき、新しい微分が古典的微分に還元されることを定義すること。
• 微分の基本定理を満たす逆分数階積分を確立すること。
• 新しい微分の幾何的・物理的解釈を明らかにし、非微分可能関数への適用可能性を検討すること。

提案手法

• 極限による定義式 $\mathcal{D}^{\alpha}(f)(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(t e^{\epsilon t^{-\alpha}}) - f(t)}{\epsilon}$ を用いて、新しい分数階微分を提案。これは古典的微分を一般化する。
• 新しい微分の連続性および微分可能性の性質を確立し、α-微分可能であることは連続性を意味することを示す。
• 新しい微分が古典的微分法則を満たすことを証明：線形性、積の法則、商の法則、連鎖律、定数関数の微分がゼロであること。
• α ∈ (n, n+1] に対して、繰り返し微分を用いて高階分数階微分への拡張を実施。
• 分数階積分を $\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)(t) = \int_{a}^{t} \frac{f(x)}{x^{1-\alpha}} dx$ として定義。これは分数階微分の逆であることが示される。
• 連続関数に対して $\mathcal{D}^{\alpha}(\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f))(t) = f(t)$ が成り立つことを示し、逆関係が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積の法則、商の法則、連鎖律といったすべての古典的微分法則を満たす分数階微分を定義可能か？
• RQ2 α = 1 のとき、新しい分数階微分は古典的微分に正確に還元されるか？
• RQ3 α ∈ (n, n+1] に対して、新しい微分を高階分数階微分に拡張可能か？
• RQ4 新しい分数階微分を逆転させる分数階積分が存在するか？ また、微分の基本定理を満たすか？
• RQ5 新しい分数階微分の幾何的・物理的解釈は何か？ とくにリーマン＝リウヴィル微分やカプト微分とは異なる点について。

主な発見

• 新しい分数階微分は、線形性、積の法則、商の法則、連鎖律、定数関数の微分がゼロであるといったすべての古典的微分法則を満たす。
• 定数関数の微分がすべての α ∈ (0,1] に対してゼロであるため、従来の分数階微分における主要な一貫性の欠如が解消された。
• t^n の微分は n t^{n-\alpha} に一般化され、古典的べき乗則が拡張される。
• α = 1 のとき、新しい微分は正確に古典的一階微分に還元される：$\mathcal{D}^{1}(f)(t) = t^{0} \frac{df}{dt}(t) = \frac{df}{dt}(t)$。
• 分数階積分 $\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)(t) = \int_{a}^{t} \frac{f(x)}{x^{1-\alpha}} dx$ は、分数階微分の逆であり、連続関数に対して $\mathcal{D}^{\alpha}(\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)) = f$ が成り立つ。
• 古典的微分可能でない関数、たとえば $f(t) = 3t^{1/3}$ は α-微分可能であり、t > 0 に対して $\mathcal{D}^{1/3}(f)(t) = 1$ となる。t = 0 で微分可能でないにもかかわらず、この性質を有する。