[論文レビュー] Fast Mojette Transform for Discrete Tomography

Shekhar S. Chandra, Nicolas Normand+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Digital Image Processing Techniques参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、O(N² log N)の計算複雑度を有する正確でノイズ耐性のある離散トモグラフィーを実現する高速モジャット変換（FMT）を提案する。対称的で最小限のデジタル角度集合と、離散フーリエ空間への投影のコンactなマッピングを用いることで、アーティファクトのない再構成が可能となり、ノイズ抑制と実験的実装可能性を制御する。

ABSTRACT

A new algorithm for reconstructing a two dimensional object from a set of one dimensional projected views is presented that is both computationally exact and experimentally practical. The algorithm has a computational complexity of O(n log2 n) with n = N^2 for an NxN image, is robust in the presence of noise and produces no artefacts in the reconstruction process, as is the case with conventional tomographic methods. The reconstruction process is approximation free because the object is assumed to be discrete and utilizes fully discrete Radon transforms. Noise in the projection data can be suppressed further by introducing redundancy in the reconstruction. The number of projections required for exact reconstruction and the response to noise can be controlled without comprising the digital nature of the algorithm. The digital projections are those of the Mojette Transform, a form of discrete linogram. A simple analytical mapping is developed that compacts these projections exactly into symmetric periodic slices within the Discrete Fourier Transform. A new digital angle set is constructed that allows the periodic slices to completely fill all of the objects Discrete Fourier space. Techniques are proposed to acquire these digital projections experimentally to enable fast and robust two dimensional reconstructions.

研究の動機と目的

• 正確で計算効率的かつ実験的に実用的な離散トモグラフィー再構成手法の開発。
• 連続ラドン変換法で一般的に生じる再構成アーティファクトを、完全に離散的なドメインで処理することにより排除すること。
• デジタル正確性を損なわずに、投影データにおける制御された冗長性を通じてノイズ耐性を実現すること。
• 高速な逆変換をFFTベースのアルゴリズムで実現可能な、対称的で最小限のデジタル角度集合の設計。
• 実際のトモグラフィー系に応用可能な、モジャット変換フレームワークに基づく実験的デジタル投影取得のための実用的フレームワークの提供。

提案手法

• 素数対 (p, q) を用いた新しいデジタル角度集合を提案し、最小で対称的なサンプリングを実現する離散投影方向を定義する。
• 離散フーリエ変換（DFT）ドメインにおける対称的周期的スライスへのモジャット投影のコンパクトな埋め込みを可能にする解析的マッピングを導入する。
• 離散フーリエスライス定理を用いて、逆FFTによる正確な再構成を実現し、N×N画像に対してn = N²のときO(n log₂n)の複雑度を達成する。
• パラメータkを用いて投影データの冗長性を制御し、ノイズ抑制と耐性を向上させる。k = 2または4が最適であると示された。
• 不整合な投影データにおけるノイズ低減をさらに図るため、DFTドメインでℓ₁-またはℓ₂-ノルムの最小化を適用する。
• 実世界への展開を想定した実験的取得技術を提案し、最適化された検出器ジオメトリと投影サンプリングを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散トモグラフィー再構成手法は、正確性とアーティファクトのない再構成を保ちつつ、計算効率と実験的実装可能性を両立できるか？
• RQ2 モジャット変換をどのように再構築すれば、高速で対称的かつ最小限の投影サンプリングを実現し、効率的な逆変換を可能にするか？
• RQ3 離散投影を補間や近似を用いずに、正確にDFTドメインにコンパクトに埋め込む解析的マッピングは何か？
• RQ4 投影セットにおける冗長性は、測定誤差が存在する状況下で、ノイズ耐性と再構成品質にどのように影響するか？
• RQ5 どのような実験的設定と取得戦略が、高速モジャット変換を実トモグラフィー系に実用可能にするか？

主な発見

• 高速モジャット変換は、N×N画像に対してO(N² log N)の計算複雑度を達成し、最小限の遅延で高速再構成を可能にする。
• 本手法は、離散ラドン変換に基づく正確な逆変換を用いる完全に離散的なドメインで処理するため、アーティファクトのない再構成を実現する。
• パラメータkを用いた冗長性の導入により、投影データのノイズが抑制され、k = 2または4がノイズ低減と計算速度のバランスにおいて最適であることが示された。
• 逆FMTは、約13秒で6144の投影から4096×4096の画像を再構成でき、実用的実装可能性を示している。
• 解析的マッピングにより、補間を回避し、モジャット投影を正確にDFT空間に埋め込むことが可能となり、デジタル正確性が保持された。
• 提案された角度集合は、計算効率（対称的で最小限のサンプリング）と、固定または可変の画像ジオメトリに適応可能な実験的適合性の両方を実現する。