[論文レビュー] Fast multi-dimensional scattered data approximation with Neumann boundary conditions

Denis Grishin, Thomas Strohmer|ArXiv.org|Jan 14, 2003

Statistical and numerical algorithms参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界に近い領域で生じるアーティファクトを低減するため、ノイマン境界条件を満たすコサイン関数に基づく三角多項式を用いた、多次元散乱データ近似の高速かつ安定な手法を提案する。周期的拡張に起因する境界アーティファクトを排除するため、最小二乗問題をテープリッツ＋ハンケル行列を用いて定式化し、離散コサイン変換（DCT）を活用して行列・ベクトル積を高速化することで、反復解法に適した計算効率を実現した。実際の地球物理学的応用例において、ACT法と比較して2.5倍の誤差低減を達成した。

ABSTRACT

An important problem in applications is the approximation of a function $f$ from a finite set of randomly scattered data $f(x_j)$. A common and powerful approach is to construct a trigonometric least squares approximation based on the set of exponentials $\{e^{2πi kx}\}$. This leads to fast numerical algorithms, but suffers from disturbing boundary effects due to the underlying periodicity assumption on the data, an assumption that is rarely satisfied in practice. To overcome this drawback we impose Neumann boundary conditions on the data. This implies the use of cosine polynomials $\cos (πkx)$ as basis functions. We show that scattered data approximation using cosine polynomials leads to a least squares problem involving certain Toeplitz+Hankel matrices. We derive estimates on the condition number of these matrices. Unlike other Toeplitz+Hankel matrices, the Toeplitz+Hankel matrices arising in our context cannot be diagonalized by the discrete cosine transform, but they still allow a fast matrix-vector multiplication via DCT which gives rise to fast conjugate gradient type algorithms. We show how the results can be generalized to higher dimensions. Finally we demonstrate the performance of the proposed method by applying it to a two-dimensional geophysical scattered data problem.

研究の動機と目的

• 周期的拡張の仮定に起因する散乱データの三角多項式近似における境界アーティファクトを解消すること。
• 多次元散乱データ近似に適した数値的に安定かつ計算効率の良い手法を構築すること。
• 指数関数的基底関数（複素指数関数）の代わりにコサイン多項式を用いることで、非周期的関数をより適切に扱えるようにすること。
• 構造的行列と高速変換を活用して、得られる最小二乗問題を高速に解けるようにすること。
• ノイズが混入し、不規則に配置されたサンプルを有する実世界の地球物理学的データ再構成において、本手法の優位性を実証すること。

提案手法

• 境界条件を対称的（ノイマン型）に保つために、指数関数 $e^{2\pi ikx}$ の代わりに $\cos(\pi kx)$ を基底関数として用いる。
• コサイン基底関数から導かれるテープリッツ＋ハンケル行列を用いて、最小二乗問題として近似を定式化する。
• 反復的解法に適した高速な行列・ベクトル積を実現するため、離散コサイン変換（DCT）を活用する。
• 行列構造を活かした高速な共役勾配法により、構造的線形方程式系を効率的に解く。
• 多次元散乱データへの応用を可能とするために、ブロックテープリッツ＋ハンケル行列を用いて多次元への拡張を実施する。
• 496個のノイズ混入・ランダムに散乱した点を有する2次元の地球物理学的重力異常データを用いた数値実験により、性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマン境界条件を適用することで、周期的拡張に起因する境界アーティファクトを、周期的関数近似と比較して低減できるか？
• RQ2 散乱で不規則なデータに対して、コサイン多項式を用いた最小二乗近似をどのように効率的に解けるか？
• RQ3 得られるテープリッツ＋ハンケル行列の条件数の挙動はどのように変化するか？また、数値的安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 完全な対角化を伴わずに、これらの構造的行列に対して高速な行列・ベクトル積を実現できるか？
• RQ5 地球物理学的データ再構成において、ACT法などの既存手法と比較して、本手法の精度と効率性はどのように優れているか？

主な発見

• 5%のノイズを含む2次元の地球物理学的重力異常データに対して、本手法は再構成誤差が0.029にまで低減され、ACT法の0.072と比較して顕著に低い誤差を達成した。
• ノイマン条件を適用することで境界アーティファクトが低減され、係数の収束が速くなり、低次の多項式でも良好な近似が得られた。
• 指数関数的基底関数からコサイン多項式に置き換えることで、定義域の境界で不連続性が生じにくくなり、収束性と安定性が向上した。
• 得られるテープリッツ＋ハンケル行列は、DCTを用いた高速行列・ベクトル積を可能にし、DCTで対角化可能でないにもかかわらず、効率的な共役勾配法の実行を可能にした。
• ブロックテープリッツ＋ハンケル構造を用いることで、多次元への一般化が効果的に実現され、計算効率が維持された。
• 立方スプライン補間法と比較すると、本手法は誤差が0.029（本手法）対0.045（スプライン）と低く、同様のテストケースにおいて優れた精度を示した。