[論文レビュー] Fast plurality consensus in regular expanders

Colin Cooper, Tomasz Radzik+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Distributed systems and fault tolerance参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、正則な拡張グラフ上で、二サンプル投票プロトコルを提示し、期待されるステップ数が高確率で O((n log n)/A₁) に収束する多様性の高い多数派コンセンサスを達成する。ここで A₁ は最大の意見の初期サイズである。プロトコルは、多数派の意見が第二位の意見より Cn·max{√(log n / A₁), λ} 以上リードしている場合、多数派の意見が勝つことを保証する。ここで λ はランダムウォーク遷移行列の第二固有値である。

ABSTRACT

Pull voting is a classic method to reach consensus among $n$ vertices with differing opinions in a distributed network: each vertex at each step takes on the opinion of a random neighbour. This method, however, suffers from two drawbacks. Even if there are only two opposing opinions, the time taken for a single opinion to emerge can be slow and the final opinion is not necessarily the initially held majority. We refer to a protocol where 2 neighbours are contacted at each step as a 2-sample voting protocol. In the two-sample protocol a vertex updates its opinion only if both sampled opinions are the same. Not much was known about the performance of two-sample voting on general expanders in the case of three or more opinions. In this paper we show that the following performance can be achieved on a $d$-regular expander using two-sample voting. We suppose there are $k \ge 3$ opinions, and that the initial size of the largest and second largest opinions is $A_1, A_2$ respectively. We prove that, if $A_1 - A_2 \ge C n \max\{\sqrt{(\log n)/A_1}, λ\}$, where $λ$ is the absolute second eigenvalue of matrix $P=Adj(G)/d$ and $C$ is a suitable constant, then the largest opinion wins in $O((n \log n)/A_1)$ steps with high probability. For almost all $d$-regular graphs, we have $λ=c/\sqrt{d}$ for some constant $c>0$. This means that as $d$ increases we can separate an opinion whose majority is $o(n)$, whereas $Θ(n)$ majority is required for $d$ constant. This work generalizes the results of Becchetti et. al (SPAA 2014) for the complete graph $K_n$.

研究の動機と目的

• 3つ以上の意見を持つグラフにおける多数派コンセンサスプロトコルの性能ギャップを解消すること。特に、絶対的過半数を占める意見がない状況を想定する。
• 二意見の場合に効果的であった二サンプル投票の効率性を、k ≥ 3 の意見を持つより複雑な多数派コンセンサス設定へと拡張すること。
• 初期の最大意見（多数派）が、小さなリードであっても正則な拡張グラフにおいて高確率で勝利する条件を確立すること。
• スペクトル的性質（特にランダムウォーク遷移行列の第二固有値 λ）が、コンセンサスの速度と正しさに与える影響を分析すること。

提案手法

• 各頂点が、復元抽出で一様に二つの隣接頂点をサンプリングし、その二つの中で多数派の意見を採用する。同数の場合は最初の意見を採用する。
• スペクトルグラフ理論を用いて、意見の拡散への影響を制限し、特にランダムウォーク遷移行列 P = Adj(G)/d の第二固有値 λ を活用する。
• 集中不等式を適用して、時間の経過とともに意見のサイズが期待値の周囲に集中することを示し、迅速な収束を保証する。
• スペクトルギャップと初期の意見分布に依存する、意見サイズの期待変化量の境界を導出する。これは、Lemma 10 および期待される意見遷移に関する関連結果に依存する。
• 多数派の意見のリードが Cn·max{√(log n / A₁), λ} を超える場合、その期待サイズが時間とともに増加することを確立し、コンセンサスへの収束を保証する。
• 古典的プル投票および三サンプルプロトコルとの比較を通じて、導出された境界の妥当性を裏付ける。二サンプルプロトコルが強い集中性を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つ以上の意見があり、絶対的過半数がない状況下で、二サンプル投票が正則な拡張グラフ上で高速なコンセンサスを達成できるか？
• RQ2 このようなグラフにおいて、多数派の意見が高確率で勝利するための最小初期リードは何か？
• RQ3 グラフのスペクトルギャップ（λ を通じて）は、多数派コンセンサスプロトコルの収束時間と正しさにどのように影響するか？
• RQ4 d が定数のとき、独立な隣接頂点サンプリングの代わりに短いランダムウォークを用いることで、二サンプル投票の性能を向上させられるか？
• RQ5 収束速度と正しさの保証という観点から、二サンプルプロトコルは三サンプル投票と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 二サンプル投票プロトコルは、d-正則な拡張グラフ上で、高確率で O((n log n)/A₁) の期待ステップ数でコンセンサスに到達する。ここで A₁ は最大の初期意見サイズである。
• 多数派の意見が第二位の意見より少なくとも Cn·max{√(log n / A₁), λ} 以上初期段階でリードしている場合、高確率で勝利する。C は適切な定数である。
• ほとんどすべての d-正則グラフにおいて、λ = c/√d（c > 0 なる定数）であるため、d が大きいほど、小さな多数派の意見を検出可能になる。
• d が定数の場合、独立なサンプリングの代わりに短いランダムウォークを用いることで、多数派の意見の分離が非線形的に達成可能になる。
• スペクトルギャップ λ は、多数派支配の閾値を決定する重要なパラメータであり、λ が小さいほど、より高速かつ信頼性の高いコンセンサスが達成可能である。
• 分析により、二サンプル投票における期待される意見サイズの変化は、スペクトル的手法を用いてきびしく境界づけられており、強い集中性の結果が得られる。