[論文レビュー] Fast solution of boundary integral equations with the generalized Neumann kernel

Mohamed M. S. Nasser|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2013

Numerical methods in engineering参考文献 53被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、一般化されたノイマンカーネルとその随伴を、台形則を用いたニストルム法と高速多重極法（FMM）およびFFTを組み合わせることで、高速かつ高精度に境界積分方程式を解く手法を提示する。一般化されたノイマンカーネルに対しては$O((m+1)nackslashln n)$の計算量、随伴に対しては$O((m+1)n)$の計算量を達成し、数値微分を必要とせず、高次接続性や幾何学的に複雑な領域に対しても効率的な解法が可能である。

ABSTRACT

A fast method for solving boundary integral equations with the generalized Neumann kernel and the adjoint generalized Neumann kernel is presented. The method is based on discretizing the integral equations by the Nyström method with the trapezoidal rule to obtain $(m+1)n imes(m+1)n$ linear systems where $m+1$ is the multiplicity of the multiply connected domain and $n$ is the number of nodes in the discretization of each boundary component. The obtained linear systems are solved by the generalized minimal residual (GMRES) method. Each iteration of the GMRES method requires a matrix-vector product which can be computed using the Fast Multipole Method (FMM). The complexity of the presented method is $O((m+1)n\ln n)$ for the integral equation with the generalized Neumann kernel and $O((m+1)n)$ for the integral equation with the adjoint generalized Neumann kernel. The presented numerical results illustrate that the presented method gives accurate results even for domains with high connectivity, domains with piecewise smooth boundaries, and domains with close boundaries.

研究の動機と目的

• 多重接続領域における一般化されたノイマンカーネルを用いた境界積分方程式を解く高速かつ安定な数値解法の開発。
• 未知関数の数値微分を回避するため、特異積分作用素$\mathbf{M}$の離散化を再定式化すること。
• ニストルム離散化から生じる密行列の線形システムに対して、FMMとFFTを組み合わせることで最適な計算量を達成すること。
• 高次接続性、区分的滑らかさ、近接する境界を有する領域に対しても、頑健な数値解を提供すること。
• コンformalマッピングおよび境界値問題のためのMATLAB関数として、手法の実装と検証を行うこと。

提案手法

• 各境界成分において、台形則を用いたニストルム法により、一般化されたノイマンカーネルおよびその随伴の離散化を行う。
• 離散化された作用素$\mathbf{M}$を、FMMに適した行列とFFTに適したブロック巡回行列の和に書き換える。
• FMMを用いて、巡回でない部分の行列ベクトル積を$O((m+1)n)$の演算で計算する。
• FFTを用いて、巡回部分の行列ベクトル積を$O((m+1)n\backslashln n)$の演算で計算する。
• GMRES反復法を用い、FMMを行列ベクトル積の計算に組み合わせることで、得られる密行列線形システムを解く。
• MATLAB関数を2つ実装する：一般化されたノイマンカーネル用のFBIE、随伴カーネル用のFBIEad、および高速コーシー積分評価のためのFCAU。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたノイマンカーネルを用いた境界積分方程式の計算コストを、$O((m+1)^2n^2)$未満に低下させつつ、精度を損なわずに実現できるか？
• RQ2 特異積分作用素$\mathbf{M}$の離散化において、未知関数の数値微分をどのように回避できるか？
• RQ3 境界の幾何的性質（高次接続性、区分的滑らかさ、近接性など）が、解の収束性および安定性に与える影響は何か？
• RQ4 なぜFBIEの精度は関数$\theta$が定数でない場合に劣化するのに対し、FBIEadは$\theta$に依存しないのか？
• RQ5 FMMとFFTの組み合わせにより、一般化されたノイマンカーネルとその随伴の両方において最適な計算量を達成できるか？

主な発見

• 提案手法は、一般化されたノイマンカーネル方程式に対して$O((m+1)n\backslashln n)$の計算量、随伴に対して$O((m+1)n)$の計算量を達成し、標準的な密行列ソルバーに比べ顕著な改善を示す。
• 1,000を超える接続性、区分的滑らかな境界、$10^{-4}$未塔の距離で近接する境界を有する領域に対しても、精度を保つ。
• FBIE関数において、$\theta$が定数でない場合、非常に小さな分離距離$\varepsilon$で精度が低下するが、FBIEadは$\theta$にかかわらず一貫した精度を維持する。
• GMRES反復回数、CPU時間、条件数は$\varepsilon$が小さくなるにつれて増加するが、特異性の減算を用いることで管理可能である。
• 係数行列の条件数は$\varepsilon$が小さくなるにつれて増加するが、FMMベースのソルバーは依然として頑健性を保つ。
• 数値的証拠から、FBIEの精度における$\theta$依存性の原因は、作用素$\mathbf{M}$の離散化に起因し、FBIEadにおける単純なフリードホルム作用素とは異なることが示唆される。