[論文レビュー] Faster Algorithms for Feedback Arc Set Tournament, Kemeny Rank Aggregation and Betweenness Tournament

Marek Karpiński, Warren Schudy|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Multi-Criteria Decision Making被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、最適コスト OPT をパラメータとして用いることで、3 つの NP 困難な順序付け問題 — フィードバックアークセットトーナメント、ケメンイ順序集約、バーテンス・トーナメント — に対するより高速な固定パrameterアルゴリズムを提示する。3 つの問題すべてに対して $O^{*}(2^{O(\sqrt{OPT})})$ の実行時間を達成しており、従来の境界を著しく改善し、指数時間仮説（ETH）の下界と一致させている。これにより、$ ext{OPT} \leq n( ext{log} hinspace n)^2$ の場合に多項式時間で解けるようになる。主な革新点は、有界摂動解析を組み込んだ新規の動的計画法と、最適解に近い解へのパラメータ化探索戦略に基づくものである。

ABSTRACT

We study fixed parameter algorithms for three problems: Kemeny rank aggregation, feedback arc set tournament, and betweenness tournament. For Kemeny rank aggregation we give an algorithm with runtime O*(2^O(sqrt{OPT})), where n is the number of candidates, OPT is the cost of the optimal ranking, and O* hides polynomial factors. This is a dramatic improvement on the previously best known runtime of O*(2^O(OPT)). For feedback arc set tournament we give an algorithm with runtime O*(2^O(sqrt{OPT})), an improvement on the previously best known O*(OPT^O(sqrt{OPT})) (Alon, Lokshtanov and Saurabh 2009). For betweenness tournament we give an algorithm with runtime O*(2^O(sqrt{OPT/n})), where n is the number of vertices and OPT is the optimal cost. This improves on the previously known O*(OPT^O(OPT^{1/3}))$ (Saurabh 2009), especially when OPT is small. Unusually we can solve instances with OPT as large as n (log n)^2 in polynomial time!

研究の動機と目的

• フィードバックアークセットトーナメント、ケメンイ順序集約、バーテンス・トーナメントという 3 つの根本的な順序付け問題に対するより高速な固定パラメータアルゴリズムの開発。
• 最適コスト $\text{OPT}$ への指数的依存を $2^{O(\text{OPT})}$ から $2^{O(\sqrt{\text{OPT}})}$ に削減すること。
• 指数時間仮説（ETH）の下で、タイトなパラメータ化された複雑さの境界を確立すること。
• 従来の手法では困難であった、$\text{OPT} \leq n(\text{log} hinspace n)^2$ の場合に多項式時間で解けるようにすること。

提案手法

• 候補解 $\pi^1$ からの有界摂動半径 $r(v)$ 以内の順序付けに制限された、新しい動的計画法フレームワークを提案。これにより、関連する置換のみを検討する。
• 最適解 $\pi^*$ からの距離が $d(\pi^1, \pi^*) = O(\sqrt{\text{OPT}/n})$ で、$C(\pi^1) \leq 2C(\pi^*)$ を満たす順序 $\pi^1$ を特定するパラメータ化探索戦略を用いる。
• 部分集合 $S$ の頂点のみに依存する制約に関連するコストの一部を捉えるコスト関数 $C^\prime(\pi)$ を定義。これにより、動的計画法における最適部分構造を実現する。
• 空間計算量を $|V|^{O(1)}$ に削減するため、動的計画法の分割統治版を適用。時間計算量は $|V|^{O(\psi)}$ を維持する。ここで $\psi = \max_j |\{v : |\pi^1(v) - j| \leq r(v)\}|$ である。
• 三角不等式とトーナメントの構造的性質を活用し、最適順序から顕著に逸脱する頂点数を上界で評価する。
• 摂動境界を $b(\pi, v, j+1/2)$ の差から導出したものに基づき、最適解 $\pi^*$ が常に動的計画法の探索空間内にあることを示すことで、正しさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィードバックアークセットトーナメントの固定パラメータアルゴリズムにおける $\text{OPT}$ への指数的依存を、$2^{O(\text{OPT})}$ から $2^{O(\sqrt{\text{OPT}})}$ に削減できるか。
• RQ2 ケメンイ順序集約に対して、$O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ の実行時間を達成できるか。これは従来の $O^{*}(2^{O(\text{OPT})})$ の境界を改善するものである。
• RQ3 バーテンス・トーナメント問題を $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}/n})})$ 時間で解けるか。これは従来の $O^{*}(\text{OPT}^{O(\text{OPT}^{1/3})})$ の境界と比べて顕著な改善である。
• RQ4 指数時間仮説（ETH）は、重み付きフィードバックアークセットトーナメントに対して、$O^{*}(2^{o(\sqrt{\text{OPT}})})$ 時間で解けるアルゴリズムが存在しないことを示唆するか。
• RQ5 どの条件下で $\text{OPT}$ に対してこれらの問題が多項式時間で解けるか。

主な発見

• 本稿では、フィードバックアークセットトーナメントに対して $O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ の実行時間を達成しており、従来の最良境界 $O^{*}(\text{OPT}^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ よりも改善されている。
• ケメンイ順序集約では、$O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}})})$ 時間で実行され、従来の $O^{*}(2^{O(\text{OPT})})$ の境界に比べて顕著な改善がなされている。
• バーテンス・トーナメントでは、$O^{*}(2^{O(\sqrt{\text{OPT}/n})})$ 時間で実行され、従来の $O^{*}(\text{OPT}^{O(\text{OPT}^{1/3})})$ の境界に比べて顕著な改善がなされている。
• 本稿では、下界が一致することを証明している。重み付きフィードバックアークセットトーナメントを $O^{*}(2^{o(\sqrt{\text{OPT}})})$ 時間で解けるアルゴリズムが存在するならば、指数時間仮説（ETH）は誤りである。
• 本アルゴリズムは、$\text{OPT} \leq n(\text{log} hspace n)^2$ のインスタンスを多項式時間で解くことができる。これは従来の手法では解けなかった領域である。
• 正しさは、最適解 $\pi^*$ が、頂点位置の摂動が $O(\sqrt{n\cdot\text{OPT}})$ 以内に収まる動的計画法の探索空間内にあることを示すことで保証されている。