[論文レビュー] Faster Algorithms for Online Topological Ordering

Telikepalli Kavitha, Rogers Mathew|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、辺の挿入に対してオンラインで頂点順序付けを行うための2つの新しいアルゴリズムを提示する。最初のアルゴリズムは $O(n^{5/2})$ 時間を達成し、密度の高いグラフにおける従来の $O(n^{2.75})$ の境界を改善する。2番目のアルゴリズムは $O((m+nackslash ext{log} n)ackslash ext{sqrt}ackslash ext{m})$ 時間で動作し、スパarsから中程度に密集したグラフにおける従来の $O(m^{3/2}ackslash ext{log} n)$ および $O(m^{3/2}+n^2ackslash ext{log} n)$ の境界を厳密に改善する。

ABSTRACT

We present two algorithms for maintaining the topological order of a directed acyclic graph with n vertices, under an online edge insertion sequence of m edges. Efficient algorithms for online topological ordering have many applications, including online cycle detection, which is to discover the first edge that introduces a cycle under an arbitrary sequence of edge insertions in a directed graph. In this paper we present efficient algorithms for the online topological ordering problem. We first present a simple algorithm with running time O(n^{5/2}) for the online topological ordering problem. This is the current fastest algorithm for this problem on dense graphs, i.e., when m > n^{5/3}. We then present an algorithm with running time O((m + nlog n)\sqrt{m}); this is more efficient for sparse graphs. Our results yield an improved upper bound of O(min(n^{5/2}, (m + nlog n)sqrt{m})) for the online topological ordering problem.

研究の動機と目的

• 逐次的な辺の挿入に対する有向非巡回グラフ（DAG）におけるオンライントポロジカル順序付けの時間計算量を改善すること。
• 頂点再ラベル化の既知の下界 $\Omega(n\backslash\text{log} n)$ と、最高の既知の上界との間のギャップを解消すること。
• 密度の高いグラフ向けに単純で効率的なアルゴリズムと、広いグラフ密度範囲に適した洗練されたアルゴリズムを開発すること。
• オンラインサイクル検出および段階的依存関係管理のための、より良い理論的・実用的な上界を提供すること。

提案手法

• 複雑なデータ構造を用いず、配列を走査して隣接行列の要素をチェックする単純な $O(n^{5/2})$ アルゴリズムを提案する。
• Katriel-Bodlaenderアルゴリズムの枠組みを適応し、辺の挿入中に動的頂点再ラベル化を用いてトポロジカル順序を維持する。
• 頂点更新中の作業を追跡するためのモード分析（モード i, ii, iii）を導入し、先祖と後継の走査を区別する。
• Cauchy-Schwarzの不等式を用いて、辺の挿入全体における総作業量を、潜在関数 $\Phi(e_i)$, $\Psi(e_i)$, および $\nu(e_i)$ を用いて上界で抑え込む。
• 幾何平均と算術平均の不等式を適用し、最終的な時間計算量を $O((m+n\backslash\text{log} n)ackslash ext{sqrt}ackslash ext{m})$ に簡略化する。
• 二段階の解析を採用する：モード (ii) で終わる挿入のための解析と、モード (iii) で終わる挿入のための解析であり、両者とも潜在関数の不等式を用いて上界で抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度の高いDAGにおけるオンライントポロジカル順序付けに対して、$O(n^{2.75})$ よりも良い時間境界を達成できるか？
• RQ2 スパarsから中程度に密集したグラフ（$m = \omega(n)$ かつ $m = O(n^{4/3})$）に対して、$O(m^{3/2}\backslash\text{log} n)$ や $O(m^{3/2}+n^2\backslash\text{log} n)$ よりもタイトな境界があるか？
• RQ3 複雑なデータ構造を用いずに、$O(n^{5/2})$ 時間を達成できる単純で実用的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 Cauchy-Schwarzの不等式のような不等式を用いて、すべての辺の挿入における総作業量を潜在関数で上界で抑えられるか？
• RQ5 すべてのグラフ密度範囲にわたって既存の結果を包含する、オンライントポロジカル順序付けの最もタイトな上界は何か？

主な発見

• 本稿では、$O(n^{5/2})$ 時間の境界を達成し、これは密度の高いグラフ（$m > n^{5/3}$）における従来の $O(n^{2.75})$ の境界を厳密に改善する。
• 2番目のアルゴリズムは $O((m+n\backslash\text{log} n)ackslash ext{sqrt}ackslash ext{m})$ 時間で動作し、$m$ が $\omega(n)$ から $O(n^{4/3})$ の範囲で、$O(m^{3/2}\backslash\text{log} n)$ および $O(m^{3/2}+n^2\backslash\text{log} n)$ の境界を厳密に改善する。
• 組み合わせた上界は $O(\min(n^{5/2}, (m+n\backslash\text{log} n)ackslash ext{sqrt}ackslash ext{m}))$ であり、すべての既存の既知の境界を包含する。
• $O(n^{5/2})$ アルゴリズムは単純で、高度なデータ構造を一切使用せず、オンラインサイクル検出に対しても実用的である。
• 解析は潜在関数とCauchy-Schwarzの不等式に依存し、$\sum \nu(e_i) \leq mn$ および $\sum \Phi(e_i) \leq m^2$ が成り立つ。
• 作業量の上界 $O((m+n\backslash\text{log} n)ackslash ext{sqrt}ackslash ext{m})$ は、$\sum (p_i + q_i) \leq (\sqrt{\sum p_i^2} + \sqrt{\sum q_i^2}) \sqrt{m}$ を用いて導出され、最終的な時間計算量に至る。